(a) 301             (b) zero

(a)

(b) e

(c) Sim. A cada ponto P de coordenada x estará associado um novo número, .

Sim. Cada novo número y corresponderá ao ponto Q da reta cuja antiga coordenada é . (Lembre-se, como , esta divisão é possível).

(d) Observação: A correspondência que a cada ponto da reta associa o seu novo número, neste caso, define um novo sistema de coordenadas na reta, cuja origem coincide com a origem do antigo sistema. O que muda neste novo sistema é a unidade de medida. Neste novo sistema, a unidade de medida é igual a vezes a unidade de medida do antigo sistema, pois o ponto de coordenadas 1 no novo sistema, corresponde ao ponto de coordenada , no sistema antigo. Neste caso, as distâncias só serão preservadas se | k | = 1. Para entender esta afirmação, repare que se as coordenadas de dois pontos P e Q, são dadas por x e y e as novas por a e b , respectivamente, temos que a distância d entre estes pontos, no antigo sistema será dada por

d(P,Q) =

e a distância d', no novo, por

d'(P,Q) = = .

Assim , d' = d se e somente se | k | = 1 .

Se o novo sistema de coordenadas coincide com o antigo. Se k = - 1, a unidade de medida do novo sistema é igual a unidade de medida do antigo, isto é, as distâncias são preservadas, o que muda é a orientação: no novo sistema a direção positiva é para a esquerda.

Se k > 0, geometricamente, este novo sistema de coordenadas corresponde a uma mudança de escala do sistema antigo.

Se , este novo sistema corresponde, geometricamente, a mudança de escala explicada acima, junto com uma mudança de orientação do sistema antigo, isto é, a direção positiva neste novo sistema, passa a ser para a esquerda.

(a) Como , temos que o conjunto dado é equivalente a { x Î Â ; }.

Mas .

Precisamos, portanto considerar dois casos

(i) Se , a igualdade é equivalente a , que é sempre verdadeira.

(ii) Se , a igualdade é equivalente a . A raiz desta última equação é , que não pertence ao intervalo e, conseqüentemente, não existe nenhum valor, neste intervalo, para o qual a igualdade seja verdadeira.

De (i) e (ii) podemos concluir que o conjunto { x Î Â ; } = [ ).

(b) que é zero quando e é estritamente positivo para qualquer outro valor de y .

(a) A desigualdade é equivalente a < 2. Assim, o intervalo aberto (-2,2) é solução desta desigualdade. Representando este intervalo na reta numerada, temos

(b) A desigualdade é equivalente a < que, por sua vez é equivalente a < . Logo, a solução da desigualdade é o intervalo aberto ( ), cuja representação na reta numerada é dada na figura abaixo.

(c) A desigualdade é equivalente a £ e daí, temos que £ . Logo, a solução da desigualdade é o intervalo fechado cuja representação é dada abaixo.

(d) Como = , a desigualdade é equivalente a e a solução é a mesma do item anterior.

(e) A desigualdade é equivalente a < . Daí, temos que < . Como, a segunda desigualdade nos diz que , temos que < e a solução das desigualdades dadas é o intervalo semi-aberto [2, ), cuja representação geométrica esboçamos abaixo.

(a) Para .

(b) Se , temos que e assim, = 1.

(c) Se , e assim, = -1.

(a)

(b)

(a) 10 a 35 graus Celsius

(b) 68 a 86 graus Fahrenheit

(a) zês, zês, zês

(b)

(c) diags, diags, diags.

(d)