Álgebra, como componente fundamental da matemática, abrange várias vertentes que desempenham papéis significativos na exploração de estruturas matemáticas e na solução de problemas do mundo real. Desde a álgebra elementar, que lida com operações básicas e manipulação de variáveis, até a álgebra abstrata, que investiga estruturas algébricas mais complexas, a disciplina constitui uma parte crucial da teoria matemática e suas aplicações.
A álgebra elementar serve como um bloco fundamental no ensino da matemática. Ela equipa os aprendizes com ferramentas para resolver equações, manipular expressões e compreender as relações entre variáveis e constantes. Essas habilidades são essenciais em diversas disciplinas científicas, de engenharia e financeiras.
A álgebra abstrata leva os conceitos algébricos a um nível mais elevado de abstração e generalidade. Ela se aprofunda no estudo de estruturas algébricas, como grupos, anéis, módulos e campos, e explora as propriedades e simetrias que surgem dessas estruturas. A álgebra abstrata possui aplicações abrangentes em campos diversos, incluindo ciência da computação, física e criptografia.
Álgebra comutativa, uma área especializada da álgebra, concentra-se em anéis comutativos e suas propriedades. Esses anéis são estruturas matemáticas em que a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem da multiplicação não afeta o resultado. A álgebra comutativa desempenha um papel crucial na geometria algébrica e na teoria dos números, onde oferece insights sobre formas geométricas e propriedades dos números.
A geometria algébrica investiga objetos geométricos definidos por equações polinomiais. Um campo fascinante dentro da geometria algébrica é o estudo de curvas algébricas sobre corpos finitos. Essas curvas têm aplicações na teoria dos números, criptografia e teoria de codificação. Os pesquisadores exploram problemas como encontrar pontos racionais nessas curvas e determinar seus grupos de automorfismo. O uso prático das curvas algébricas reside na construção de códigos de geometria algébrica para correção eficiente de erros em sistemas de comunicação e armazenamento de dados.
Em conclusão, a álgebra é uma disciplina unificadora e versátil que conecta várias vertentes da matemática. Desde as ferramentas essenciais da álgebra elementar até a profunda exploração das estruturas algébricas na álgebra abstrata e o foco em anéis na álgebra comutativa, e o estudo de objetos geométricos na geometria algébrica, a álgebra continua moldando as fronteiras da pesquisa matemática e suas aplicações no mundo real.
A teoria dos valores extremos estuda propriedades de valores situados na cauda de distribuições de probabilidade. Existem fortes resultados probabilísiticos que garantem a forma dessa cauda independente da parte central da distribuição. Assim, a estimação de valores extremos pode ser feita com relativa segurança. Esse problema surge em vários contextos, como finanças – máximo de (des)valorização de um ativo – e hidrologia – máximo de marés.
As principais linhas de pesquisa em nosso programa são:
Esta é a área da Estatística que modela fenômenos descritos por múltiplas variáveis em diferentes localidades ao longo do tempo. Estes modelos prestam-se principalmente a fazer interpolação (espacial) e previsão (temporal). Por exemplo, em ciências ambientais, deseja-se estimar os níveis de poluentes num local não medido (interpolação espacial), determinar a localização de uma rede de estações de monitoramento ou mesmo prever a evolução do processo de poluição.
Assume-se, em geral, que o processo espacial sob estudo é homogêneo. Nas aplicações com frequência essa hipótese é questionável. Outra suposição comum em processos espaço-temporais é que a covariância do processo é separável. Essa hipótese é igualmente restritiva e ditada por questões de tratabilidade da análise.
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Esta é a área da estatística que analisa dados através de modelos estruturados em diferentes níveis, de forma a caracterizar adequadamente a multiplicidade de componentes envolvidos. Exemplos incluem modelos de componentes latentes e modelos dinâmicos. A última classe envolve modelos para dados uni ou multivariados indexados no tempo. Os modelos dinâmicos ou em espaço de estados tiveram acelerado desenvolvimentos nas últimas décadas e são hoje técnicas indispensáveis para o estatístico moderno, quer aplicado ou teórico.
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A Econometria caracteriza-se por um conjunto de métodos desenvolvidos para a análise estatística de modelos econômicos. Estes podem ser modelos tipo cross-section ou modelos de séries temporais. Nas últimas décadas, especial ênfase tem sido dada à modelagem de problemas em finanças visando descrever evolução de preços ou retornos para auxiliar a tomada de decisão na elaboração de portfólios, precificação de opções etc.
A Atuaria é campo da Matemática que estuda fenômenos de risco sob incerteza. Alguns temas relacionam-se com a teoria da ruína e com a tarifação de seguros. Desenvolvimento de métodos estatísticos para esses modelos é demanda de grande relevo.
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