Programa Especial de Matemática
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UFRJ


Disciplina Modelagem Matemática em Biociências (Top em Mat Aplicada)


Dados Básicos

Pré-requisitos: Calculo II.

Docente Responsável: Prof. Stefanella Boatto (lella ARROBA labma . ufrj . br)


Ementa da Disciplina

Parte Matematica :

1) Noção de modelagem biomatemática. Modelos discreto versus contínuos, determinísticos versus estocásticos. Por que os biólogos necessitam de  modelos matemáticos? Limitações dos modelos matemáticos. Porque os matemáticos necessitam  de modelos biologicos? Comparando modelos com dados: a) validação de um modelo b) Parametrização de um modelo

2) Modelos de uma única espécie:  a) Modelos deterministicos continuos - revisão EDO através a analise      de modelos de uma unica especie. (cap. 2 do Weiss),Equação logística,      tratamento qualitativo.  b) modelos deterministicos discretos: Equação logística discreta, Beverton-Holt model. c) modelos estocasticos d) modelos populacionais de Leslie.

3) Modelos de comunidades    a) Competição:        Modelo de competição de Lotka Volterra,        Modelos discretos.   b) Predação        Modelo de presa-predador de Lotka-Volterra        Modelos presa-predador com crescimento logístico e a respostas de tipo        Holling.    c) Mutualismo

4) Breve introdução sobre teoría das bifurcações. Bifurcações uni-dimensionais: "saddle-node", "transcritical", "supercritical pitchfork", "subcritical pitchfork". A bifurcação de Hopf.

5)  Equações com atraso: Uma introdução 

6) Uma brevissima introdução a equacão de  difusão e as     equações reacão-difusão:  Equaçāo logística com difusāo espacial     Equações de reação difusão. Ondas viajantes. A equação de Fisher- Kolmogorov     Exemplo: competição de duas espécies de plantas na floresta amazonica.     Soluções autosimilares. Exemplo do estudo da gota de água.

7) Uma Teoria dos jogos  com aplicações á dinâmica evolucionaria. Estrategias puras e funções utilidade. Dominância estrita e dominância estrita iterada. Dominância fraca e equilibrio de estrategia fracamente dominante. Equilibrio de Nash. Distribuções de probabilidades e estratégias mistas. Média dos payoffs. Funções de melhor resposta em estatégias mistas. Equilibrio de Nash via otimizaçāo. O Teorema de Nash. "Evolutionary Stable Strategy" (ESS). Dinâmica do replicador. Jogos repetidos (ALLC, TFT, ALLD). O Processo de Moran. Jogos em populações finitas. Uma breve introdução aos jogos de soma zero. sequenciais, cooperativos. Jogos infinitos.     Alguns dos exemplos analizados: O dilema do prisoneiro. A batalha dos sexos. O jogo das N-cartas de Le Her. Pedra-Papel-Tisora. "Hawk and 1. Dove". O modelo de duopólio de Cournot.


Bibliografia

Mark Kot, Mathematical Ecology, Cambridge University Press (2001)

Howard Weiss, A Mathematical Introduction to Population Dynamics, IMPA, 27 Coloquio Brasileiro de Matematica (2009)

James Murray, Mathematical Biology I: An introduction, Springer (2001)

James Keener and James L. Sneyd, Mathematical Physiology, Springer (2008)

Thomas Erneux, Applied Dilay Differential Equations, Springer (2009)

Pierre Tu, Dynamical Systems.

Mark Kot, Mathematical Ecology, Cambridge University Press (2001)

Howard Weiss, A Mathematical Introduction to Population Dynamics, IMPA, 27 Coloquio Brasileiro de Matematica (2009) (e a nova edição de 2010)

James Murray, Mathematical Biology I: An introduction, Springer (2001)

James Keener and James L. Sneyd, Mathematical Physiology, Springer (2008)

Thomas Erneux, Applied Dilay Differential Equations, Springer (2009)


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Última atualização: março/2010

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