UFRJ IM-UFRJ Geometria na UFRJ Andrew Clarke

MAC360 - Geometria Tórica
Graduação em matemática, UFRJ, 2022-2
Terça e Quinta Feiras às 10h na sala XXX.

A geometria diferencial é uma área fundamental de matemática pura, que utiliza as nossas ideias de cálculo diferencial e integral em aplicações geométricas. Em espaço euclideano os primeiros objetos que vemos são retas e planos, mas nas nossas aventuras em Cálculo, também já vimos curvas e superfícies, como conjuntos de nível de funções suaves. Estudaremos essas curvas e superfícies de uma forma mais geométrica, para entender quais são as propriedades mais importantes para diferenciar entre espaços diferentes. Primeiro, estudaremos a curvatura e a torsão de uma curva, como uma maneira de medir como uma curva deixa de ser reta. A ideia fundamental de curvatura estende-se para superfícies e veremos no teorema Egregium de Gauss que a curvatura é uma característica intrínsica da superfície e não de como é mergulhada em espaço euclidiano.



Professor - Andrew Clarke
Email - andrew at im.ufrj.br
Página do Bacharelado
Página de SIGA

Conteudo

  • Curvas planas,
  • Fórmulas de Frenet,
  • Curvas no espaço,
  • Teorema Fundamental das curvas em R3,
  • Teoria local das superfícies,
  • Superfícies parametrizadas em R3,
  • Plano tangente,
  • Primeira forma fundamental,
  • Aplicação normal de Gauss,
  • Segunda forma fundamental,
  • Curvaturas média e Gaussiana,
  • Classificação de pontos na superfície,
  • Linhas de curvatura,
  • Linhas assintóticas,
  • Teorema Egregium de Gauss,
  • Equações de Gauss,
  • Equações de Gauss e Mainardi-Codazzi,
  • Teorema de Bonnet,
  • Cronograma aproximativa

    Pré-requisitos

  • MAA245 Análise 2, ou equivalente,
  • MAE125 Álgebra Linear 2, ou equivalente,
  • Avaliação

    Três provas e listas de exercícios. Para serem aceitas, listas de exercícios devem ser grampiadas e em papel limpo (não rasgado do seu caderno). Devem incluir seu nome e DRE. A sua nota dos exercícios pode contribuir até 20% da sua nota final.

    Listas de exercícios

  • Lista 1,
  • Datas das provas

  • ,
  • Bibliografia



    Manfredo do Carmo - Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies , SBM,

    Pressley - Elementary Differential Geometry , Springer.

    Abate e Tovena - Curves and Surfaces , Springer.

    Kuhnel - Differential Geometry, Curves - Surfaces - Manifolds , AMS.

    Tu- Differential Geometry , Springer.