UFRJ IM-UFRJ Geometria na UFRJ Andrew Clarke

MAC355 - Introdução à Topologia Algébrica
Bacharelado em matemática, UFRJ, 2021-1 (início 07/2021)
Aulas ministradas remotamente por Google Meets,
Horário - segunda e quarta feiras 15-17h.

Topologia algébrica é uma ferramenta fundamental para muitas áreas de matemática. É fundamental para estudar geometria diferencial e também em diversas áreas como sistemas dinâmicos e geometria algébrica. Além disso, pode ser estudada sem muitos prerequsitos técnicos. A disciplina focará em superfícies topológicas, o grupo fundamental e espaços de recobrimento.



Professor - Andrew Clarke
Email - andrew at im.ufrj.br

Conteudo

  • Topologia básica, espaços compactos e conexos, propriedades de separação, topologia de quociente, topologia subconjunto, aplicações contínuas,
  • Variedades bi-dimensionais, triangulações, soma conexa, orientabilidade,
  • Teorema de classificação de superfícies compactas,
  • Homotopia de curvaso grupo fundamental, grupo fundamental do círculo,
  • Grupos livres, produtos livres, a propriedade universal de grupos livres,
  • O teorema de Siefert-van Kampen,
  • O grupo fundamental de uma superfície compacta,
  • Espaço de recobrimento, grupo fundamental de um espaçõ de recobrimento,
  • Levantamentos de aplicações a um espaço de recobrimento,
  • Ação do grupo fundamental sobre um espaço de recobrimento,
  • Vídeos e notas

  • Aulas gravadas e notas das aulas,

  • Pré-requisitos

    A disciplina de topologia algébrica une várias áreas de matemática, sendo álgebra, topologia e geometria. O principal pré-requisito é um pouco de álgebra, do nível da disciplina Álgebra II. Usaremos a linguagem de grupos, como grupos abelianos, subgrupos normais e quocientes. Também, um conhecimento básico de topologia é desejável. Isso você pode pegar de vários fontes, como cursos em análise real ou topologia elementar. Veremos um resumo desse materia nas primeiras semanas do período.

    Avaliação

    Uma prova de três horas durante a última semana letiva. Listas de exercícios para serem entregues cada duas semanas. A nota final será calculada ou com 100% de peso vindo da prova, ou com 70% da prova e 30% dos exercícios, conforme qual dá a nota mais alta.

    Listas de exercícios

  • Lista 1 (para ser entregue na quarta feira 28/7),
  • Lista 2 (para ser entregue na quarta feira 11/8),
  • Lista 3 (para ser entregue na segunda feira 30/8),
  • Lista 4 (para ser entregue na segunda feira 20/9),
  • Lista 5 (para ser entregue na segunda feira 04/10),


    Não é obrigatório, mas o aluno é fortemente aconselhado a entregar os exercícios digitados usando o programa Latex. Recursos para escrever Latex on-line incluem Overleaf e Sharelatex. Existe um tutorial básico sobre Latex aqui.
  • Notas

  • Notas,

    Um aluno que quer melhorar sua nota pode falar com o professor para fazer uma prova de segunda chamada.
  • Bibliografia



    W.S. Massey - Algebraic Topology : An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, Springer.

    Allen Hatcher - Algebraic Topology,

    M.J. Greenberg e J.R. Harper - Algebraic Topology - A First Course, Benjamin/Cummings.

    J.R. Munkres - Topology, Pearson.

    W. Fulton - Algebraic Topology - A First Course, Graduate Texts in Mathematics, 153, Springer.

    E.L. Lima - Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento Publicações do IMPA.