Disciplinas de 2009/1

Tópicos na Teoria de Recorrência em Sistemas Dinâmicos

• Preliminares: A noção de recorrência. O teorema de Poincaré. Taxas de Recorrência, equivalências. Tempo de espera.
• Resultados Gerais sobre Recorrência: O lema de Kac. Médias de tempos de saída. Dimensão de Hausdorff, box e pontual e relações com taxas de recorrência e tempos de espera. O teorema de Boshernitzan. Relações com entropia de partições, entropia métrica e pressão. Relações com entropia no caso em que a medida é infinita. Recorrência para ações de grupos.
• Isometrias: Recorrência e Waiting time de rotações. Estimativas entre waiting time e recorrência para isometrias. Isometrias por pedaços. Exemplos de não igualdade nos teoremas de Barreira Saussol e Galatolo. Genericidade C^0 de super-recorrência.
• Hiperbolicidade: Shrinking targets para mapas racionais expansores da esfera de Riemman. A teoria de m-sistemas e estimativas por baixo na dimensão de Hausdorff. Recorrência para mapas unidimensionais monótonos por partes e com variação p-limitada. Recorrência para medidas de equilíbrio de potenciais Hölder associados a conjuntos uniformemente hiperbólicos isolados. Estrutura de Produto de medidas de equilíbrio e da recorrência.
• Mixing: Coincidência da dimensão pontual e a taxa de recorrência para sistemas com mixing super-polinomial.

Arquivo modelo do tex

Artigo para exposição dos seminários:
J. L. Fernandez, M. V. Melian, D. Pestana.
Quantitative recurrence properties of expanding maps.

Bibliografia:

• Barreira, L. Dimension and Recurrence in Hyperbolic Dynamics.
• Galatolo, S. Dimension via Waiting time and Recurrence.
• Meiss, J. Average exit time for volume-preserving maps
• Bonnano, C. Galatolo, S. e Isola, S. Recurrence and algorithmic information.
• Boshernitzan, M. Quantitative recurrence results. Invent. Math. 113 (1993), no. 3, 617--631.
• Ornstein D e Weiss, B. Entropy and data compression schemes. IEEE Trans. Inform. Theory 39 (1993), no. 1, 78--83.
• Varandas, P. Entropy and Poincare recurrence from a geometrical viewpoint.
• Stefano Galatolo, Dong Han Kim, Kyewon Koh Park. The recurrence time for ergodic systems of infinite measures. Nonlinearity 19 (2006), no. 11, 2567--2580.
• Dong Han Kim. Quantitative recurrence properties for group actions. Nonlinearity 22 (2009), no. 1, 1--9.
• Kim, Dong Han; Seo, Byoung Ki. The waiting time for irrational rotations. Nonlinearity 16 (2003), no. 5, 1861--1868.
• Choe, Geon Ho; Seo, Byoung Ki. Recurrence speed of multiples of an irrational number. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 77 (2001), no. 7, 134--137.
• Hill, Richard; Velani, Sanju L. The ergodic theory of shrinking targets. Invent. Math. 119 (1995), no. 1, 175--198.
• Dodson, M. M.; Melián, M. V.; Pestana, D.; Velani, S. L. Patterson measure and ubiquity. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 20 (1995), no. 1, 37--60.
• Saussol, B.; Troubetzkoy, S.; Vaienti, S. Recurrence, Dimensions, and Lyapunov Exponents. J. Statist. Phys. 106 (2002), no. 3-4, 623--634.
• Barreira, L.; Saussol, B. Hausdorff dimension of measures via Poincaré recurrence. Comm. Math. Phys. 219 (2001), no. 2, 443--463.
• Saussol, B. Recurrence rate in rapidly mixing dynamical systems. Discrete Contin. Dyn. Syst. 15 (2006), no. 1, 259--267.

Equações Diferenciais Parciais I

• Preliminares: Definição de EDP. A ordem de uma EDP. EDP's lineares, semi-lineares e não lineares. Exemplos. O conceito de soluçào.
• Equações Lineares de Primeira Ordem: o método das características, o caso transversal, o caso completamente tangente e o caso não transversal. Propagação de Singularidades. O método das características em dimensão qualquer e para equações completamente não-lineares.
• Equação de Laplace: Soluções Fundamentais e soluções da equação de Poisson. Propriedade da média. Princípio do Máximo. Unicidade do problema de valor de contorno em domínios limitados. Regularidade de funções harmônicas. A estimativa de Harnack. Unicidade via métodos de Energia.
• Equação do Calor: Soluções Fundamentais. Soluções do problema de valor inicial em R^n. Soluções do problema não-homogêneo em R^n. Propriedades de média na bola do calor e o princípio do máximo. Unicidade em cilindros parabólicos limitados. Regularidade de soluções da equação do calor. Unicidade em R^n no conjunto de funções com crescimento no máximo exponencial. Unicidade via métodos de energia e Unicidade pra trás.
• Equação da Onda: A fórmula de D´Alembert em dimensão 1. Reflexão em dimensão 1. Soluções em dimensão 2 e 3 e o método de descida de Hadamard. Unicidade via métodos de Energia.
• Séries de Fourier: Método de Separação de variáveis. Séries de Fourier de funções periódicas. Propriedades algébrico-diferenciais da transformada de Fourier no círculo. Aproximação L^2. Convergência uniforme da série de Fourier de funções C^1. Convergência pontual para a função original da série de Fourier de funções $C^1$. O núcleo de Poisson e solução da equação de Laplace no disco unitário.

• Iório, V. EDP um curso de graduação. Coleção Matemática Universitária.
• Iório, R. e Iório V. EDP: uma introdução. Projeto Euclides.
• Evans, L. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics.

• Lista 1
• Lista 2 - Parte 1
• Lista 2 - Parte 2
• Lista 3