Seminário de Teoria Ergódica

Seminário - 2012/Verao

O seminário ocorre todas as quintas, de 15:15hs as 17:00hs. Sala B-106A (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br

Objetivo: O seminário do verão tera como tema consequências da teoria de Pesin no caso C1.

• A confirmar: Alexander Arbieto.
  Titulo: A confirmar.
  Resumo:
  Referência:

Seminário - 2011/02

O seminário ocorre todas as terças e quintas, de 15:15hs as 17:00hs. Sala B-106A (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br

Objetivo: O seminário deste semestre terá 2 linhas (abaixo), cada linha de pesquisa terá um grupo de expositores(alunos). Os seminários sobre tais temas começarão no meio de setembro. Enquanto isso, teremos alguns seminários que sobraram do semestre passado

• Dinâmicas Genéricas (Supervisor: Alexander Arbieto): Grupo 1 (Wellington Cordeiro, Bruno Santiago, Bernardo Carvalho)
• Fluxos Geodésicos Anosov (Supervisor: Fernando Carneiro): Grupo 2: Bruno Santiago, André Junqueira, Tatiana Sodero.

• Bernardo Carvalho.
  Titulo: Classes Lyapunov estáveis.
  Resumo:
  Referência: Lyapunov stable chain recurrent class. Jiagang Yang. Preprint IMPA
• Tatiana Sodero e Bruno Santiago.
  Titulo: Fluxos Geodésicos Anosov em variedades completas.
  Resumo:
  Referência: Mañé, R. On a theorem of Klingenberg. Dynamical systems and bifurcation theory (Rio de Janeiro, 1985), 319–345, Pitman Res. Notes Math. Ser., 160, Longman Sci. Tech., Harlow, 1987.
• 27/10Yiwei Zhang (Exeter).
  Titulo:Dimension results for general Moran set constructions(Joint work with Mark Holland).
  Resumo:We consider the computation of Hausdorff, upper box and packing dimensions for general Moran set constructions, where the contraction transformations applied at each step may be different. We allow the transformations to be nonlinear and have contraction rates with an infimum of zero. Furthermore the basic sets of the construction can have a complicated topology. Our approach uses a thermodynamic formulism to show the existence of a non-atomic measure that is supported on the resulting fractal limit set, and using this measure we compute compute corresponding dimension estimates. Furthermore this article considers dimension results for stochastic Moran set constructions, where chaotic dynamical systems are used to generate the contraction ratios at each step.
  
• 25/10, 01,03,08/11 Grupo 2.
  Titulo: Variedades Compactas com fluxo geodésico Anosov.
  Resumo:
  Referência: Klingenberg, Wilhelm. Riemannian manifolds with geodesic flow of Anosov type. Ann. of Math. (2) 99 (1974), 1–13. .
• 27,29/09 e 04,06/10 Bruno Santiago.
  Titulo: Hiperbolicidade não-uniforme para difeomorfismos genéricos.
  Resumo:
  Referência: Nonuniform hyperbolicity for C^1-generic diffeomorphisms. Flavio Abdenur, Christian Bonatti (IMB), Sylvain Crovisier (LAGA).
• 22/09 Bernardo Carvalho.
  Titulo: Classes Bi-Lyapunov estáveis e Shadowing.
  Resumo:
  
• 13/09 Nisoli Isaia.
  Titulo:A simple approach to rigorous approximation of invariant measures.
  Resumo: Piecewise expanding maps of the interval are one of the simplest examples of chaotic behaviour in dynamics; in 1973 Lasota and Yorke proved that these maps admit a finite set of ergodic absolutely continuous invariant measures. In this joint work with Stefano Galatolo we implement a numerical algorithm that, using a discretization of the transfer operator, permits us to compute the invariant measure for a topologically transitive expanding map of the interval rigorously, thanks to a spectral stability result by Liverani.
  
• 8,15,20/09Bernardo Carvalho.
  Titulo: Hiperbolicidade Parcial Longe de Tangências.
  Resumo:
  Referência: Crovisier, S. Sambarino, M. Yang, D. Partial Hyperbolicity and Homoclinic Tangencies. Preprint Arxiv.
• 26,30/08 e 1,6/09: Grupo 1.
  Titulo: H-expansividade para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos.
  Resumo:
  Referência: Entropy-expansiveness for partially hyperbolic diffeomorphisms. Todd Fisher, Lorenzo J. Diaz, Maria J. Pacifico, Jose L. Vieitez. Preprint Arxiv.
• 18,23/08: André Junqueira.
  Titulo: Iterações Aleatórias de Funções.
  Resumo:
  Referência: P. Diaconis and D. Freedman, Iterated Random Functions, SIAM Rev. 41 (1999), 45-76.

Seminário - 2011/01

O seminário ocorre todas as terças e quintas, de 15:15hs as 17:00hs. Sala B-106B (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br

Objetivo: O seminário deste semestre terá 3 linhas (abaixo), cada linha de pesquisa terá um grupo de expositores(alunos). Os seminários sobre tais temas começarão no final de abril/começo de maio. Enquanto isso, teremos alguns seminários avulsos

• Dinâmicas Longe de Tangências Homoclínicas (Supervisor: Alexander Arbieto): Grupo 1 (Wellington Cordeiro, Luciana Salgado, Raquel Ribeiro, Bernardo Carvalho)
• Fractais, Sistemas Iterados de Funções e Medidas Invariantes (Supervisor: Katrin Gelfert): Grupo 2: Bruno Santiago, André Junqueira,
• H-expansividade e conceitos correlatos (Supervisor: Laura Senos) Grupo 3: Davi Obata, Alma Armijo,

• A confirmar23 e 28/06: Grupo 2.
  Titulo: Iterações Aleatórias de Funções.
  Resumo:
  Referência: P. Diaconis and D. Freedman, Iterated Random Functions, SIAM Rev. 41 (1999), 45-76.
• A confirmar9,14,16,21/06: Grupo 1.
  Titulo: A conjectura fraca de Palis.
  Resumo:
  Referência: Crovisier S. Birth of homoclinic intersections: a model for the central dynamics of partially hyperbolic systems.
• A confirmar02,07/06: Grupo 3.
  Titulo: H-expansividade.
  Resumo:
  Referência: Bowen, R. Entropy Expansive Maps.
• 26,31/05: Grupo 2.
  Titulo: Fractais e Auto-Similaridade.
  Resumo:
  Referência: J. Hutchinson, Fractals and Self Similarity, Indiana Univ. Math. J. 30 (1981) 713-747.
• 19,24/05: Fernando Carneiro (IMPA).
  Titulo: Um exemplo de fluxo geodésico parcialmente hiperbólico que não é Anosov.
  Resumo:Duas maneiras de se construir um fluxo de Anosov são o produto de dois fluxos Anosov, ou uma cirurgia como a que Mañé fez para construir um difeomorfismo parcialmente hiperbólico em T^3 (Derivado de Anosov). Vou mostrar que a métrica produto de duas métricas cujos fluxos geodésicos são Anosov não é Anosov. Então, a única esperança é deformar a métrica como faz Mañé. Mostrarei que isso é possível, ou seja, produz um fluxo geodésico parcialmente hiperbólico que não é Anosov.
  
• 10,12,17/05: Grupo 1.
  Titulo: Tangências Homoclíunicas e decomposições dominadas.
  Resumo: Mostramos a existência de decomposições dominadas no conjunto i-preperiodico na ausência de tangências homoclínicas. Mostramos também a recíproca.
  Referência: Wen, L. Homoclinic tangencies and dominated splittings. Nonlinearity.
• 14,19/04: Davi Obata.
  Titulo: Crescimento super-exponencial de órbitas periódicas em classes homoclínicas.
  Resumo: É conhecido da teoria hiperbólica que dentro de uma Classe homoclínica hiperbólica se tem no máximo um crescimento exponencial das órbitas periódicas. O Teorema de Artin-Mazur nos diz que densamente no espaço dos difeomorfismos $C^r$ o crescimento é exponencial também. Nesse seminário iremos fazer um passeio fora do mundo hiperbólico e iremos mostrar um resultado dado por Bonatti-Diaz-Fisher que genericamente na topologia $C^1$ se uma classe homoclínica tem pontos periódicos com índices diferentes então o crescimento é super-exponencial.
  Referência: C. Bonatti, L. Diaz, T. Fisher, Superexponential growth of the number of periodic orbits inside homoclinic classes. Discrete and Continuous Dynamical Systems.
• 31/03: Alexander Arbieto (UFRJ).
  Titulo: Difeomorfismos com decomposição dominada global não são minimais.
  Resumo: Neste seminário apresentamos um resultado devido a Zhang, onde se mostra que se $f$ admite uma decomposição dominada $TM=E\oplus F$ então $f$ não pode ser minimal.
  Referência: arXiv:1011.2844 A diffeomorphism with global dominated splitting can not be minimal. Pengfei Zhang.

Seminário - 2011/Verão

Seminário - 2010/02

O seminário ocorre todas as terças e quintas, de 13:15hs as 15:00hs. Sala B-106A (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br

Objetivo:

• Apresentar resultados recentes, ou mesmo originais, indicados pelos orientadores de cada estudante.

• 15/12: Keith Burns (Northwestern University, EUA).
  Titulo: Ergodicity of the Weil-Petersson geodesic flow.
  Resumo: The Weil-Petersson metric is one of the canonical metrics on the moduli space of a surface. For surfaces that support hyperbolic metrics the Weil-Petersson metric has negative curvature. Howie Masur and Amie Wilkinson and I have shown that its geodesic flow is ergodic. The difficulties in this arise from the fact that the metric is incomplete.
  
• 14, 19 e 21/10: Alma Armijo (UFRJ).
  Titulo: Bifurcações Homoclínicas e Hiperbolicidade Uniforme para Fluxos.
  Resumo: Neste seminário nós mostraremos um resultado de Arroyo, Rodrigues e Hertz que garante que em uma 3-variedade compacta todo campo vetorial de classe C1 pode ser aproximado por campos uniformemente hiperbólicos, ou por campos que têm uma tangência homoclínica, ou por campos que tenham um ciclo singular. Isto prova o resultado análogo à conjectura de Palis, para o caso de fluxos.
  Referência:[1]A. Arroyo, F. Rodriguez-Hertz, Homoclinic bifurcation and uniform hyperbolicity for three-dimensional flows. Ann. I.H.P.20, 5 (2003), 805-841.

  [2] E. Pujals, M. Sambarino, Homoclinic tangencies and hyperbolicity for surface diffeomorphisms, Ann. of Math. (2), 151, 3 (2000) 961–1023.

• 30/09 e 05,07/10: Davi Obata(UFRJ).
  Titulo: Consequências de alguns lemas de perturbação no mundo genérico.
  Resumo: Neste seminário iremos estudar várias consequências de alguns lemas de perturbação. Com o C^1- Closing Lemma iremos mostrar o Teorema de Densidade Geral de Pugh. Utilizando o C^1- Connecting Lemma iremos mostrar o Teorema de Carballo-Morales-Pacífico, melhorando o nosso entendimento de classes homoclínicas, onde será intruduzida a noção de conjuntos neutros. Utilizando o C^1- Pseudoconnecting Lemma iremos mostrar vários resultados como por exemplo a Conjectura de Hurley na topologia C^1. Iremos então fazer um passeio pelo mundo conservativo e mostraremos que genericamente no mundo conservativo os difeomorfismos são transitivos e a variedade é uma única classe homoclínica. Por último iremos entender melhor a natureza de um atrator topológico, sua bacia local e sua bacia global.
  Referência: -Abdenur, F. Attractors of generic diffeomorphisms are persistent. Nonlinearity 16 (2003), no. 1, 301--311. - Bonatti, C.; Crovisier, S. Récurrence et généricité. (French) [Recurrence and genericity] Invent. Math. 158 (2004), no. 1, 33--104. - Carballo, C. M.; Morales, C. A.; Pacifico, M. J. Homoclinic classes for generic $C^1$ vector fields. Ergodic Theory Dynam. Systems 23 (2003), no. 2, 403--415. - Pugh, C. C. An improved closing lemma and a general density theorem. Amer. J. Math. 89 1967 1010--1021. - Obata, D.J. Resultados na Teoria de Dinâmica Genérica. Monografia de Iniciação Científica UFRJ 2010.
• 21,23,28/09: Wellington Cordeiro(UFRJ).
  Titulo: Volume de atratores seccionalmente hiperbólicos.
  Resumo: PConsideraremos fluxos seccionalmente-hiperbólicos definidos em uma variedade M de dimensão d. Mostraremos que atratores singulares hiperbólicos C1+ próprios possuem volume zero. Em particular encontraremos a seguinte dicotomia em dimensão 3 para atratores seccionalmente hiperbólicos de classe C1+: Ou o atrator tem volume zero ou o fluxo é Anosov. Também provaremos que C1 genericamente temos volume zero para classes C1 robustas de atratores seccionalmente-hiperbólicos.
  Referência: J. F. Alves, V. Araújo, M.J. Pacifico, V. Pinherio, On the volume of singular-hiperbolic sets, Dynamical Systems, vol. 22, No. 3, Setembro 2007, 249-267.
• 16,21/09: André Junqueira(UFRJ).
  Titulo: EMedidas invariantes absolutamente contínuas para aplicações na reta.
  Resumo: Nessa palestra definiremos uma classe de aplicações da reta, o qual inclui algumas funcões trigonométricas, e mostraremos que elas admitem uma única medida invariante absolutamente contínua e finita. A prova desse fato segue uma linha muito semelhante aos argumentos de Lasota-Yorke para transformações C² por partes no intervalo.
  Referência: Absolutely continuous invariant measures for transformations on the real line. Marian Jablonski, Andrzej Lasota and Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Jagiellonskiego, Prace Matematyczne, Zeszyt 22 – 1981.
• 31/08, 02/09 e 09/09: Luciano Prudente(UFRJ).
  Titulo: Equivalência de Medidas de Gibbs e Medidas de Equilíbrio para Homeomorfismos Expansivos com a Propriedade de Especificação.
  Resumo: Primeiramente será apresentado o conceito de medidas Quasi-Gibbs, feito isto será demonstrada a existência e unicidade destas medidas para um Homeomorfismo Expansivo definido em um espaço métrico compacto, com a propriedade de Especificação e em relação a uma certa família de potenciais. Além disso, será demonstrado que a medida Quasi-Gibbs obtida é a única medida de equilíbrio e medida de Gibbs para o sistema.
  Referência: Equivalence of Gibbs e equilibrium states for Homeomorphisms satisfying Expansiveness and Specification. N.T.A. Haydn and D. Ruelle, Commun. Math. Phys. 148, 155-167 (1992).
• 24,26/08: Mariana Pinheiro.
  Titulo: Homeomorfismos preservando área genéricos.
  Resumo: Neste seminário, daremos uma nova definição de expoente de Lyapunov associado a uma função contínua e coincidindo com a definição usual se a aplicação for diferenciável. Mostraremos que existe um subconjunto residual, isto é, interseção de conjuntos abertos e densos com respeito a topologia C^0, do conjunto dos homeomorfismos preservando área definidos em uma superfície compacta, conexa e sem bordo tal que qualquer elemento dentro deste subconjunto residual tem expoente de Lyapunov nulo para Lebesgue quase todo ponto.
  Referência: On generic area-preserving homeomorphisms, Preprint ArXiv. math. DS/1004.0641, 2010.

Seminário - 2010/01

O seminário ocorre todas as terças e quintas, de 15:15hs as 17:00hs. Sala B-106A (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br

Objetivo:

• Apresentar resultados recentes, ou mesmo originais, indicados pelo organizador.

• 23,25,30/03: Tatiana Sodero.
  Titulo: Uma prova para as conjecturas da $C^1$-estabilidade e $\Omega$-estabilidade para fluxos.
  Resumo:Dizemos que um campo de vetores X definido na variedade compacta M é $C^1$-estável (respec. $C^1$ $\Omega$-estável) se existe uma vizinhança U de X em X¹(M) tal que para qualquer Y em U, Y é topologicamente equivalente a X sobre M (respec. sobre o não-errante). As conjecturas da estabilidade e $\Omega$-estabilidade devidas a Palis e Smale são: “Um campo de vetores $C^1$-estável satisfaz Axioma A e as condições de transversalidade forte” e “Um campo de vetores $\Omega$-estável satisfaz Axioma A e a condição de não ter ciclos”. Daremos, neste seminário, uma prova devido a Hayashi, assumindo o $C^1$ connecting lemma para fluxos.
  Referência: Hayashi S., Connecting Invariant Manifolds and the Solution of the $C^1$ Stability and $\Omega$ Stability Conjectures for Flows. Annals of Mathematics, vol 145 No 1. 1997.
  Hayashi S., Correction to Connecting Invariant Manifolds and the Solution of the $C^1$ Stability and $\Omega$ Stability Conjectures for Flows. Annals of Mathematics, vol 150 No 1. 1999.
• 06,08/04: Andre Junqueira.
  Titulo: Fenômeno de Newhouse na topologia C1
  Resumo:Dizemos que dois pontos periódicos hiperbólicos apresentam uma conexão persistente se existe um subconjunto denso numa vizinhança do difeomorfismo onde esses dois pontos estão num mesmo conjunto transitivo. Quando a variedade é tridimensional e esses pontos são selas hiperbólicas possuindo cada um um autovalor não real contrator e expansor respectivamente com uma conexão persistente, mostraremos que num residual local em torno do difeomorfismo as classes homoclínicas dos pontos coincidem e são a aderência de um conjunto de poços ou fontes.
  Referência: Bonatti C., Diaz L.,Connexions Hétéroclines et généricité d'une infinité de puits et de sources. Ann. Sci. Ècole Norm. Sup.(4) 32 (1999),no. 1,135-150.
  Update: Devido as chuvas, o seminario foi adiado para 13,15/04.
• 29/04, 04/05: Luciana Salgado.
  Titulo: Classes homoclínicas e finitude de atratores para campo de vetores sobre n-variedades
  
• 11,18/05: Alexander Arbieto.
  Titulo: Aplicações do C^2 connecting lemma de Mañé
  Resumo:Seguindo Hayashi, aplicaremos o C^2 connecting lemma de Mañe (com hipóteses) para mostrar que genericamente na topologia C^2, se um difeomorfismo é tal que o fecho do suporte de todas suas medidas invariantes pode ser decomposto como uma união disjunta e enumerável de conjuntos básicos então esse difeomorfismo é hiperbólico.
  Referência: Hayashi S., Applications of Mañe’s C^2 connecting lemma. Proc. Amer. Math. Soc. 138(2010), 1371-1385.

Seminário - 2009/02

O seminário ocorre todas as terças e quintas, de 13:15hs as 15:00hs. Sala B-106B (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br

Objetivo:

• Apresentar em forma de minicursos avanços na conjectura de Palis, que é um tema de pesquisa recente em sistemas dinâmicos.
• Apresentar resultados recentes, ou mesmo originais, de acordo com o interesse e a linha de pesquisa de cada aluno e/ou expositor.

• 20,25,27/08: André Junqueira.
  Titulo: Ergodicidade de Sistemas Fibrados.
  Resumo: Nessa exposição vamos descrever um metodo aplicável a uma grande classe de transformações não inversíveis para provar a ergodicidade e existencia de medidas invariantes. Como aplicação vamos provar a ergodicidade de duas aplicacões nao inversíveis definidas na reta.
  Referência: F. Schweiger, Some remarks on ergodicity and invariant measures, Michigan Math J., 22(1975), 181-187.
• 01,03/09: Wellington Cordeiro.
  Titulo: Expansividade para Fluxos.
  Resumo: Discutiremos algumas definições para expansividade de fluxos: C-expansividade e K-expansividade, devidas a Walters e Bowen, e expansividade devida a Komuro. Motraremos que as definições de C-expansividade e K-expansividade são equivalentes invariantes por conjugação, e também que C-expansividade implica expansividade. Além disso, daremos um exemplo que é expansivo mas não C-expansivo: O modelo Geométrico para o atrator de Lorenz.
  Referência: V. Araujo, M. J. Pacifico,E. R. Pujals, M. Viana, Singular-hyperbolic attractors are chaotic. Transactions of the American Mathematical Society, v. 361, p. 2431-2485, 2009.
  V. Araújo, M. J. Pacifico , Three Dimensional Flows, XXVI Brazillian Mathematical Colloquium. IMPA, Rio de Janeiro, Brasil, 2007.
  R. Bowen and P. Walters, Expansive one-parameter flows, J. Differential Equations, 12: 180-193,1972.
  M. Komuro, Expansive properties of Lorenz Attractors, In the theory of dynamical systems and its applications to nonlinear problems, pages 4-26. World Sci. Publishing, Kyoto, 1984.
• 08,10,15/09: Mariana Pinheiro.
  Titulo: Medidas de Gibbs para Shifts de Markov Enumeráveis.
  Resumo: Mostraremos que um potencial com variação somável e pressão finita em um shift de Markov enumerável topologicamente mixing tem medida de Gibbs se, e somente se, a matriz de transição satisfizer uma determinada propriedade para imagens e pré-imagens (BIP) sobre o shift. Sob a existência desta propriedade e para um potencial com pressão finita, D. Mauldin e M. Urbanski já haviam mostrado a existência de tais medidas. Faremos uma nova demonstração deste fato e mostraremos que ele é necessário para a existência destas medidas. Daremos ainda alguns resultados referentes ao formalismo termodinâmico de shifts de Markov enumeráveis com a propriedade BIP e alguns contra-exemplos que podem aparecer na ausência de tal propriedade.
  Referência: Existence of Gibbs measures for countable Markov shifts, Amer. Math. Soc. 131 (2003),no 6, 1751-1758.
• 17,22/09: Alexander Arbieto.
  Titulo: A Conjectura de Palis em Superfícies (Parte 1).
  Resumo: Nesta série de seminários iremos apresentar uma prova da Conjectura de Palis, devida a Pujals e Sambarino, em dimensão 2. Na parte 1 apresentaremos a prova da conjectura assumindo uma caracterização de certos conjuntos com decomposição dominada para difeomorfismos $C^2$ em superfícies.
  Referência: E. Pujals and M. Sambarino, Homoclinic tangencies and hyperbolicity for surface diffeomorphisms, Annals of Mathematics, vol. 151, 2000, p. 961-1023.
• 08,13/10: Luciana Salgado (UFRJ).
  Titulo: Um critério de hiperbolicidade genérica baseado em pontos periódicos.
  Resumo: Provaremos que se o conjunto periódico é não uniformemente hiperbólico para qualquer difeomorfismo em um subconjunto residual de um aberto $C^1$, então este aberto contém um subconjunto residual de difeomorfismos Axioma A. No caso de endomorfismos não-singulares temos que se o conjunto de pontos periódicos é não uniformemente expansor para difeomorfismos locais em um subconjunto residual de um aberto $C^1$, então este aberto contém um subconjunto aberto e denso de aplicações expansoras. Se o tempo permitir estenderemos tal discussão para endomorfismos Axioma A.
  Referência: E. Castro, A., New criteria of generic hyperbolicity based on periodic points, arXiv:0906.2240v1, 12 de junho de 2009.
• 15,20/10: Alexander Arbieto (UFRJ).
  Titulo: A Conjectura de Palis em Superfícies (Parte 2).
  Resumo: Nesta série de seminários iremos apresentar uma prova da Conjectura de Palis, devida a Pujals e Sambarino, em dimensão 2. Na parte 2 reduziremos a prova de que um conjunto com decomposição dominada, contendo apenas selas periódicas de um difeomorfismo C² é união de um conjunto hiperbólico e um número finito de curvas irracionais periódica normalmente hiperbólicas, para a prova de que se todo subconjunto compacto invariante próprio de um conjunto transitivo com decomposição dominada que não é uma curva irracional periódica normalmente hiperbólica de um difeomorfismo C² é hiperbólico então o próprio conjunto é hiperbólico.
  Além disso iremos examinar propriedades do tipo Denjoy de curvas (intervalos) transversais aos fibrados da decomposição. Tal estudo é o primeiro passo para a demonstração da redução do teorema (que será feita nas próximas partes).
  Referência: E. Pujals and M. Sambarino, Homoclinic tangencies and hyperbolicity for surface diffeomorphisms, Annals of Mathematics, vol. 151, 2000, p. 961-1023.
• 27,29/10 e 03/11: Eduardo Pinheiro (UFRJ).
  Titulo: Estados de equilíbrio para ferraduras não-uniformemente hiperbólicas.
  Resumo: Neste seminário iremos mostrar a existência e unicidade de estados de equilíbrio associado a potenciais Hölder-contínuos para ferraduras contendo uma órbita de um ponto de tangência homoclínica que é acumulado por pontos periódicos.
  Referência: Leplaideur, R. & Rios, I. Invariant manifolds and equilibrium states for non-uniformly hyperbolic horseshoes. Institute of Physics Publishing, 19, 2006.
• 05,10/11: Felipe Medeiros (UFRJ).
  Titulo: Hiperbolicidade do Fluxo Geodésico de Variedades compactas de curvatura seccional negativa.
  Resumo: Neste seminário provaremos o clássico resultado de Sistemas Dinâmicos que diz que o Fluxo Geodésico restrito ao fibrado tangente unitário de variedades compactas de curvatura seccional negativa é Anosov. Pelo caráter explícito dos subespaços estável e instável, começaremos com o caso particular no qual a curvatura seccional é constante e em seguida provaremos o caso geral usando teoria de cones.
  Referência: Burns, K., Gidea, M. Differential Geometry and Topology: With a view to Dynamical Systems. CRC Press, Boca Raton, 2005.
  Do Carmo, M. Geometria Riemanniana. IMPA. Projeto Euclides, 2005.

Seminário - 2009/01

O seminário ocorre todas as terças e quintas, de 13:00hs as 15:00hs. Sala B-106A (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br ou castijos@gmail.com

Objetivo:

• Apresentar resultados recentes, ou mesmo originais, de acordo com o interesse e a linha de pesquisa de cada aluno e/ou expositor.

• 12,17,19/03: Regis Castijos.
  Titulo: A teoria de Pesin para sistemas com singularidades: A propriedade Bernoulli.
  Resumo: Uma extensão da teoria de Pesin para sistemas com singularidades foi feita por Katok e Strelcyn (Lect. Notes in Math. 1222 (1986)), mas como eles mesmos comentaram, as estimativas deles não eram forte o suficiente para obter a propriedade Bernoulli. Vamos apresentar o resultado obtido por Chernov e Haskell, no qual eles conseguem completar a extensão, obtendo a propriedade Bernoulli para K-sistemas não-uniformemente hiperbólicos com singularidades.
  Referência: N. I. Chernov e C. Haskell, Nonuniformly hyperbolic K-systems are Bernoulli, Ergod. Th & Dynam. Sys 16 (1996), 19-44.
• 24,26,31/03: Laura Senos.
  Titulo: Homeomorfismos Expansivos em Superfícies.
  Resumo: Seja $f$ um homeomorfismo expansivo em uma variedade compacta sem fronteira $M$. Seguindo o trabalho de Lewowicz, mostrarei que $f$ não admite pontos estáveis, que possui estrutura de produto local em boa parte de $M$, que $S^2$ não admite tal $f$, e que se $M=T^2$ então $f$ é conjugada a um difeomorfismo Anosov.
  Referência: J. Lewowicz, Expansive Homeomorphisms of Surfaces, Bol. Soc. Bras. Mat., Vol. 20, n 1, 113-133, 1989.
• 02/04: Alexander Arbieto.
  Titulo: Mapas positivamente expansivos.
  Resumo: Um mapa positivamente expansivo é persistente se todo mapa numa vizinhança $C^1$ também é positivamente expansivo, porém com constante de expansividade arbitrária. Mostramos que tais mapas são expansores, isto estende um resultado devido a Sakai. Na prova usamos uma caracterização de mapas expansores devido a Cao, o qual simplifica alguns argumentos de Sakai.
• 07,14,16/04: Luciano Prudente.
  Titulo: Estados de equilíbrio para ferraduras parcialmente hiperbólicas.
  Resumo: Será demonstrado que na ferradura construída por L. Díaz, V. Horita, I. Rios e M. Sambarino existem estados de equilíbrio para qualquer potencial contínuo. Além disso, será exibido um exemplo de uma família suave de potenciais com transição de fase.
  Referência: R. Leplaideur, K. Oliveira e I. Rios, Equilibrium states for partially hyperbolic horseshoes.
• 28,30/04 e 05/05: Andre Correa.
  Titulo: Transitividade robusta e ergodicidade de sistemas alternantes.
  Resumo: SG. Boole mostrou em 1857 que uma transformaçao definida na reta menos no zero , conhecida como transformação de Boole, preserva a medida de lebesgue. Em 1973, R. Alder e B. Weiss provaram que de fato ela é ergódica. Nessa apresentação seguiremos o trabalho de S. Muñoz definindo os chamados sistemas alternantes, que generalizam a transformação de Boole e estudaremos a transitividade robusta e ergodicidade de tais sistemas .
  Referência: Muñoz, S. Robust transitivity and ergodicity of transformations on the real line and the real plane. IMPA. 2005.
• 12/05: Alexander Arbieto.
  Titulo: Expansividade positiva e o grupo fundamental.
  Resumo: Apresentamos um resultado devido a Hiraide sobre mapas positivamente expansivos: Toda variedade compacta que admite um mapa positivamente expansivo tem grupo fundamental com crescimento polinomial.Como corolário, usando um teorema de Gromov, obtém-se que todo mapa expansivo em uma variedade compacta é conjugado a um endomorfismo expansor em alguma infra-nilvariedade.
  Referência: Hiraide, K. Positively expansive maps and growth of fundamental groups. Proc. AMS, v.104, no 3, 1988.
• 14,19,21/05: João Reis.
  Titulo:Propriedades dinâmicas de atratores singular-hiperbólicos.
  Resumo: Um resultado conhecido em Sistemas Dinâmicos é a existência de variedades estáveis e instáveis locais para um fluxo C^r num conjunto hiperbólico. Em conjuntos singular-hiperbólicos a existência de variedades instáveis locais pode não ocorrer devido à natureza da decomposição do fibrado nesse conjunto: direção instável não é exigida. Em variedades de dimensão 3 e com a hipótese adicional de ser um atrator transitivo, será mostrado a existência de um subconjunto K do conjunto singular-hiperbólico tendo variedades instáveis locais de tamanho uniforme e sendo K visitado infinitas vezes por um conjunto residual do atrator. Estes fatos nos permite concluir a densidade de orbitas periódicas em um atrator singular-hiperbólico transitivo e que este último é uma classe homoclínica.
  Referência: Arroyo, A, Pujals, E. R., Dynamical properties of singular-hyperbolic attractors. Discrete Contin. Dyn. Syst. 19 (2007), no. 1, 67-87.
• 26/05: Mauro Benayon (UFF).
  Titulo:Uma prova para o Teorema do Ponto Fixo de Poincaré-Birkhoff.
  Resumo: Apresentaremos a prova dada por M. Brown e W. D. Neumann para o teorema do ponto fixode Poincaré-Birkhoff também conhecido como "último teorema geométrico de Poincaré". O teorema assegura a existência de pelo menos dois pontos fixos a todo homeomorfismo de torção do anel fechado, que preserva área. Este teorema foi formulado como uma conjectura e provado em casos especiais por Poincaré em 1912. Em 1913 Birkhoff publicou uma demonstração que estava em partes incorreta. Posteriormente em 1925, em um artigo sobre uma generalização do teorema em questão, corrigiu os erros cometidos no artigo de 1913. Porém alguns matemáticos afirmavam que esta prova também continha erros. Então em 1977, M. Brown, W. D. Neumann publicaram uma prova para este teorema, que segundo eles era essencialmente a mesma modificação apresentada por Birkhoff na sua segunda tentativa de demonstrar o teorema.
  Referência: M. Brown, W. D. Neumann, Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem, Michigan Math.J. 24 (1977), 21-31.
• 09,10/06: Mariana Pinheiro.
  Titulo: A dimensão de Hausdorff de ferraduras.
  Resumo: Calcularemos a dimensão de Hausdorff da interseção de uma ferradura, de um difeomorfismo Axioma A, com a variedade instável. de um de seus pontos, e de fato que tal dimensão não depende do ponto dado. Assim mostraremos que tal dimensão varia continuamente com o difeomorfismo na topologia C1. Para tal, usaremos o fato que a entropia é o produto do expoente de Lyapunov positivo de alguma medida ergódica invariante com a dimensão de Hausdorff de um conjunto genérico de pontos em uma variedade instável. Também mostraremos que, genericamente, um difeomorfismo C2 tem atratores cuja dimensão de Hausdorff não é aproximada pela dimensão de suas medidas ergódicas.
  Referência: H. McCluskey and A. Manning, Hausdorff dimension for horseshoes, Ergod. Th dynam. Sys. (1983), 3, 251-260. A. Manning, A relation between Lyapunov exponents, Hausdorff dimension and entropy, Ergod. Th. Dynam. Sys.(1981), 1, 451-459.
• 18,25/06: Eduardo Pinheiro.
  Titulo: Medidas Invariantes para transformações expansoras.
  Resumo: Neste seminário iremos mostrar a existência de medidas absolutamente contínuas com respeito à Lebesgue que são invariantes por transformações do intervalo C^2 por partes e expansoras.
  Referência: Lasota, A. Yorke, J. A., On the existence of invariant measures for piecewise monotonic transformations, Trans. Amer. Soc., v.186, 1973 .

Seminário - 2008/02

O seminário ocorre todas as terças e quintas, de 13:00hs as 15:00hs. Sala B-108B (IM-UFRJ) (Bloco B do Centro de Tecnologia).

Contato: arbieto@im.ufrj.br ou castijos@gmail.com

Objetivo:

• Estudar os resultados recentes de Hertz-Hertz-Tahzibi-Ures, sobre a ergodicidade estável de sistemas parcialmente hiperbólicos que preservam volume com direção central bi-dimensional.
• Estudar as tecnicas usadas no teorema citado: ergodicidade estavel via dominacao em exemplos, blenders, connecting lemmas, ciclos heteroclinicos, pasting lemma.

• A criterion for ergodicity of non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms, A. Tahzibi, F. Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz and R. Ures
• Stably Ergodic diffeomorphisms which are not partially hyperbolic. A. Tahzibi. Isr. Journal of Math. 142 (2004), 315-344.
• Persistent nonhyperbolic transitive diffeomorphisms. Bonatti, Christian; Díaz, Lorenzo J. Ann. of Math. (2) 143 (1996), no. 2, 357--396.
• Stable accessibility is C^1-dense.. Wilkinson, A.; Dolgopyat, D. Asterisque , 287 (2003), 33--60.

• 21/08: Alexander Arbieto.
  Titulo: Ergodicidade de Sitemas Não-Uniformemente Hiperbólicos.
  Resumo: Nesta palestra inicial iremos apresentar um “outline” da prova do teorema de Hertz-Hertz-Tahzibi-Ures sobre densidade C¹ de estabilidade ergódica no conjunto de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos que preservam volume com direção central bidimensional. Este é o seminário de abertura do grupo de estudos sobre o assunto.
  Referência: F. R. Hertz, M. A. R. Hertz, A. Tahzibi, R. Ures, A criterion for ergodicity of non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms, Electron.Res. Announc. Math. Sci. 14 (2007), 74-81
• 26/08,28/08,02/09,04/09: Joao Reis e Laura Lacerda.
  Título: Ergodicidade estável de difeomorfismos com decomposição dominada.
  Resumo: Obtém-se estabilidade ergódica para uma classe de difeomorfismos conservativos em T^n, criados por deformação de difeomorfismos Anosov, e que admitem apenas decomposição dominada. Hiperbolicidade não-uniforme é provada para obter folheações invariantes (que sempre existem no caso parcialmente hiperbólico). Para sistemas dissipativos C^1 próximos é mostrada a unicidade de medidas SRB.
  Referência: Tahzibi, A, Stably ergodic diffeomorphisms which are not partially hyperbolic, Israel J. Math, 142 (2004), 315—344.
  Update: Seminário do dia 04/09 cancelado
• 09/09,11/09,11/09,16/09: Alexander Arbieto.
  Título: Blender e sua criação via ciclos.
  Resumo: Apresentamos a noção de “blenders” e suas conseqüências na criação de fenômenos dinâmicos robustos. Veremos também como os “blenders” são criados através de ciclos homoclínicos e heteroclínicos. Como aplicação, obtemos abertos de difeomorfismos transitivos não-hiperbólicos isotópicos à identidade.
  Referência: C. Bonatti, L. J. Díaz, Persistent nonhyperbolic transitive diffeomorphisms, Annals of Math. 143 (1996), 357-396.
• 23/09,25/09,30/09,02/10: Alexander Arbieto.
  Título: Blenders II: A missão.
  Resumo: No capítulo anterior nossos heróis, bravamente, construíram cs-blenders associados a ciclos heterodimensionais. Nos próximos seminários, iremos obter a existência de blenders ligados a ciclos homoclínicos e com isso obter abertos de difeomorfismos não-hiperbólicos isotópicos à identidade.
  Referência: C. Bonatti, L. J. Díaz, Persistent nonhyperbolic transitive diffeomorphisms, Annals of Math. 143 (1996), 357-396.
  Update: Seminário do dia 02/10 cancelado
• 07/10,09/10: Regis Soares.
  Título: Mixing em Teoria Ergódica Infinita.
  Resumo: : Apresentaremos uma definição de misturador para transformações que preservam medidas sigma-finitas infinitas, devida à Krengel e Sucheston, e mostraremos que a transformação do bilhar definida em uma mesa plana com uma cúspide não compacta é misturadora. (Esse trabalho faz parte da tese de doutorado do palestrante).
• 16/10,21/10,23/10: André Junqueira e Regis Soares.
  Título:Acessibilidade e a conjectura de Pugh e Shub.
  Resumo: : Em meados dos anos 1990, Pugh e Shub conjecturaram que dentro do espaço dos difeomorfismos parcialmente hiperbólicos de classe Cr, existe um conjunto aberto e denso de classe Cr de difeomorfismos acessíveis. Nessa série de palestras, será apresentada a demonstração do caso C1 dessa conjectura.
  Referência: D. Dolgopyat e A. Wilkinson, Stable accessibility is C1 dense, Asterisque.287 (2003), 33-60.
• 30/10: Alexander Arbieto.
  Título:O Pasting Lemma.
  Resumo: : Apresentamos uma ferramenta para realizar perturbações de sistemas que preservam volume.
  Referência: Arbieto, Alexander; Matheus, Carlos, A pasting lemma and some applications for conservative systems. Ergodic Theory Dynam. Systems 27 (2007), no. 5, 1399--1417.
• 04/11,06/11: Alexander Arbieto.
  Título:Criação de blenders no caso conservativo.
  Resumo: : Usamos o Pasting Lemma para criar blenders para diffeomorfismos que preservam volume.
  Referência: Apêndice de F. R. Hertz, M. A. R. Hertz, A. Tahzibi, R. Ures, “New criteria for ergodicity: Lyapunov exponents and stable ergodicity”, preprint (2007).
• 11/11, 13/11, 18/11: A. Junqueira, L. Prudente, J. Reis e L. Senosz.
  Título:Expoentes de Lyapunov, blenders e ergodicidade estável.
  Resumo: : Será apresentada uma prova da conjectura de Pugh e Shub na topologia C1 sobre a densidade de difeomorfismos estavelmente ergódicos entre os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos e conservativos no caso em que a direção central tem dimensão dois.
  Referência:F. R. Hertz, M. A. R. Hertz, A. Tahzibi, R. Ures, “New criteria for ergodicity: Lyapunov exponents and stable ergodicity”, preprint (2007).
• 25/11: Raul Ures.
  Título:Um novo critério de ergodicidade I: Unicidade de medidas SRB para difeomorfismos transitivos de superfícies.
  Resumo: : Nesta primeira palestra provaremos um critério de ergodicidade que essencialmente diz que se o conjunto dos pontos tais que as suas variedades estáveis e instáveis (de Pesin) cortam transversalmente as respectivas variedades de um ponto periódico hiperbólico tiver medida positiva para uma medida SRB então é uma componente ergódica. Vamos usar o critério para mostrar que um difeomorfismo transitivo de uma superfície tem no máximo uma medida SRB com entropia positiva. Estes resultados são parte de um trabalho conjunto com F. Rodriguez Hertz, María Alejandra Rodriguez Hertz e Ali Tahzibi.
  Sala C-116 (Bloco C do Centro de Tecnologia) / 13:00 hs.
• 27/11: Raul Ures.
  Título:Um novo critério de ergodicidade II: C1-Abundância de ergodicidade estável nos difeomorfismos parcialmente hiperbólicos.
  Resumo: : Nesta segunda palestra provaremos, usando o critério da sessão anterior no caso em que temos uma medida de volume, que exigindo certas condições na decomposição mais fina do fibrado central, a estabilidade ergódica é uma propriedade (aberta e) densa na topologia C1. Em particular, obtemos a C1-conjectura de Pugh e Shub para dimensão central igual a dois. Estes resultados são parte de um trabalho conjunto com F. Rodriguez Hertz, María Alejandra Rodriguez Hertz e Ali Tahzibi.