12. Centenário da Integral de Lebesgue
 
CENTENÁRIO DA INTEGRAL DE LEBESGUE*
(1901-2001)
Luis Adauto Medeiros
RESUMO. O presente artigo visa registrar os 100 anos da criação do conceito de integral por Henri Lebesgue 1901. Analisa-se o Teorema Fundamental do Cálculo segundo Lebesgue e sua vantagem sobre as integrais de Cauchy e Riemann. Existe um resumo sobre a evolução da integral após Lebesgue.
ABSTRACT. In this article the author analyzed the concept of integral idealized by Henri Lebesgue in 1901. It is formulated the Fundamental Theorem of the Calculus and its superiority on the concepts of integral second Cauchy and Riemann. There exists a summary of the evolution of the concepts of integral after Lebesgue.
Key words: Lebesgue, Fundamental Theorem of the Calculus, Newton-Leibniz Formula, Measure.
1.  Introdução
Nas disciplinas básicas de Análise Matemática costuma-se iniciar a noção de integral para as funções contínuas, como fez Cauchy (1789-1857) em seu livro ``Le Calcul Infinitesimal, Paris, 1823, Tome Premier p. 81.'' Serão resumidas suas idéias como vem a seguir. Seja   f: [a,b]®R  uma função contínua e  P  a partição de  [a,b]
               a = x0 < x1< ¼< xk-1 < xk<¼< xn-1 < xn = b.
Escolhe-se um ponto  xk-1 < xk < xk ,   k=1,2, ¼,n e define-se a soma  S(f,P)  correspondente à partição P  do modo seguinte:
                              
Seja  l(P)= máx{xk - xk-1; k=1,2,¼,n}.  Demonstra- se que sendo  f  contínua em  [a,b]  existe o limite de S(f,P)  quando  l(P) ®0 . A este limite denomina-se integral de Cauchy da  f  em  [a,b]  denotando-se por
                              
Um problema central que se põe é a relação entre a integral de  f  e sua derivada  f ',  caso esta exista. Demonstra-se que se  f  for contínua em  [a,b]  e possui uma derivada  f '  contínua em  [a,b]  então
 
Esta igualdade denomina-se Teorema Fundamental do Cálculo ou Fórmula de Newton-Leibniz.
Observação 1. Newton considerava a noção primitiva de  f  isto é, uma função  g  derivável cuja derivada  g'  fosse igual a  f . Assim,  g  seria  f com o símbolo  representando o inverso da derivada. Teria-se  c +f 
possui derivada  f . Por outro lado Leibniz imaginava a integral de  f  como a medida da área  A  do conjunto formado pelo gráfico de  f  o eixo dos  x  e as ordenadas  x=a  e  x=b,  suponha  f  positiva para fixar idéias. Portanto, para Leibniz
Cauchy definiu um conceito de integral como Leibniz e relacionou com o de Newton por meio da (1.1) que, por esta razão, denomina-se fórmula de Newton- Leibniz. Quando  g  for contínua mostra-se que uma primitiva de  g  é
isto é,   f ' = g.
Nas etapas seguintes do ensino da Análise Matemática procura-se, em um primeiro estágio, estender a noção de integral dada por Cauchy e a fórmula de Newton-Leibniz a uma classe mais ampla de funções que não sejam, em princípio, necessàriamente contínuas em  [a,b] . Numa primeira fase deste processo encontram-se as idéias de Riemann (1826-1866) reformuladas por Darboux (1842-1917) as quais serão relembradas a seguir.
Portanto, supõe-se  f : [a,b] ®R  apenas limitada. Considera-se uma partição  P  de  [a,b]  como no caso anterior de Cauchy. Represente-se por  sk = inf{f(x); xk-1< x < xk}  e  Sk = sup{f(x); xk-1 < x < xk} para  k=1,2,¼,n   o ínfimo e o supremo de  f  em  [xk- 1, xk] . Deste modo, são definidas as somas de Riemann-Darboux inferior  s(f,P)  e superior  S(f,P) do modo seguinte:
de  f correspondente à partição P. Quando P  varia, obtém-se os conjuntos numéricos  {s(f,P)}  limitado superiormente e  {S(f,P)}  limitado inferiormente. Assim,  {s(f,P)}  possui um supremo e  {S(f,P)} possui um ínfimo. Define-se, portanto, as integrais inferior e superior, por
Tem-se para toda  f  limitada
Quando estas integrais forem iguais diz-se que a função limitada  f  em  [a,b]  é integrável segundo Riemann e representa-se por
Demonstra-se que se  f : [a,b] ®R, limitada, for integrável à Riemann então
onde   xk-1< xk < xk .
Prova-se que toda função  f  contínua em  [a,b]  é integrável à Riemann e as integrais de Riemann e Cauchy de  f  são iguais. Logo, a classe das funções contínuas está contida na classe das integráveis à Riemann. Seria tão grande a classe das funções limitadas  f  integráveis à Riemann em comparação com as contínuas? A observação a seguir dá uma resposta a esta questão.
Observação 2. Diz-se que uma parte  E  de  [a,b] possui medida nula, quando para cada  e> 0  existe uma partição  P  de  [a,b]  tal que a soma das amplitudes dos intervalos de  P , cuja união contém E , é menor que  e. Uma função  f :  [a,b]®R  diz- se quase contínua quando a coleção dos pontos  xde  [a,b]  nos quais  f  não é contínua possui medida nula. Lebesgue (1875-1941) demonstrou que uma condição necessária e suficiente para que uma função  f :  [a,b] ®R,  limitada, seja integrável segundo Riemann é que  f  seja quase contínua. 
Retorna-se à análise da relação entre a integral e a derivada no caso Riemann. Poder-se-ia pensar que se  f  limitada em  [a,b]  integrável segundo Riemann e derivável com derivada  f'  limitada, valesse a fórmula de Newton- Leibniz. Não é verdade. Há muitos exemplos mostrando que é falsa a asserção acima. O seguinte exemplo é simples.
Exemplo.  Seja  f :  [a,b] ® definida por
Esta função é limitada, contínua, sua derivada  f'  é definida por
Tem-se  f'  limitada em  [a,b]  mas não é integrável segundo Riemann [R. Gordon, The integral of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 4 (1994) pp 35-36].
Proposição 1.  Seja  f :  [a,b] ®R limitada integrável à Riemann, derivável em  [a,b]  com derivada  f'  integrável à Riemann, então vale a igualdade
Demonstração:  Considere-se uma partição  P  de [a,b] . Obtém-se para esta partição
Pelo teorema do valor médio de Lagrange obtém-se
                      f(xk) - f(xk-1) = f'(xk)(xk-xk-1), k=1,2,¼,n,
para   xk-1< xk < xk .  Daí resulta
sendo  f'  integrável segundo Riemann, quando  l(P) ®0  obtém-se, desta igualdade,
2.  Integral de Lebesgue
Resumindo o que foi dito na Introdução, concluiu-se o seguinte:
  • Cauchy (caso contínuo). Se  f:  [a,b] ®Rfor contínua com derivada  f'  contínua em  [a,b]  vale a fórmula de Newton-Leibniz:
  • Riemann (caso limitado). Se  f :  [a,b] ®R  for limitada e integrável à Riemann, derivável com derivada  f'  integrável à Riemann então vale a fórmula de Newton-Leibniz:
Foi observado que a classe das funções integráveis à Riemann é constituída pelas funções  f  que são quase contínuas em  [a,b] .               □
Em 1901 Lebesgue publicou uma nota no C.R. Acad. Sci. Paris, 132 (1901) pp 86-88, na qual propõe um novo conceito de integral contendo como caso particular a de Riemann, conseqüentemente a de Cauchy, eliminando várias deficiências destas integrais e, em particular, dando uma resposta mais geral sobre a validade da fórmula de Newton-Leibniz.
Antes de iniciar a análise da idéia de Lebesgue é fundamental observar que, no momento, comemora- se o centenário desta noção de integral e sobre a relevância que teve no desenvolvimento da matemática a partir desta pequena nota de três páginas contendo a idéia simples, original e genial de Lebesgue.
Dada a influência marcante da idéia de Lebesgue ao definir a nova noção de integral, foi que a ``section des Mathématiques de l'Académie de Science de Paris'' publicou uma nota sobre o centenário da integral de Lebesgue (cf. Jean Michel BONY, Gustave CHOQUET, Gilles LEBEAU. Le centenaire de l'intégrale de Lebesgue, C.R. Acad. Sci. Paris, t 332, Serie I (2001) pp 85- 90, avec commentaires de Ph. G. Ciarlet et B. Malgrange).
Analisando a definição de integral de Riemann observou Lebesgue, cf. op. cit., que no caso f:  [a,b] ®Rmonótona com  mM  o ínfimo e o supremo da  f , qualquer partição  P  do intervalo  [m,M]  isto é,
                              m = y0 < y1< ...< yn-1 <yn = M,
corresponde uma partição  P  de  [a,b]  em intervalos abertos dada por
                               a = x0 < x1< ... < xn-1 <xn = b
sendo
              ] xk-1,xk [ = {x Î[a,b]; yk-1< f(x) < yk}
 
para  k=1,2,...,n .  Veja Figura 1 para o caso crescente.
Conclui-se que no caso em que  f  é monótona é indiferente considerar partições  P  de  [a,b]  ou de [m,M]  para definir as somas de Riemann
Sendo  f  crescente limitada em  [a,b]  quando  l(P)®0  as somas  s  e  S  convergem para um único limite que é a integral de Riemann.
Suponha que f :  [a,b] ®R  não seja monótona, porém ainda limitada com  m  o ínfimo e  o supremo. Seja  P  uma partição de  [m,M] . Neste caso os conjuntos
                      Ek = {xÎ[a,b];  yk-1< f(x) < yk}, k=1,2,...,n
não são necessariamente intervalos abertos. Veja Figura 2.
Examinando a Figura 2 observa-se, para este gráfico, que  Ek  não é um intervalo aberto mas sim a união de três intervalos abertos e disjuntos, logo não é um intervalo. Quando  f  oscila bastante em  [a,b]  os conjuntos  Ek  são bem diferentes de intervalos. Note- se que eles serão sempre subconjuntos abertos de [a,b] . Deste modo, Lebesgue observa op. cit. que, caso se saiba atribuir aos  Ek  uma media m(Ek), será possível definir as somas  s  e  S , como no caso monótono, correspondente a partições  P  de  [m,M] em subintervalos abertos  ] yk+1, yk [  que dão origem, por meio de  f , aos conjuntos abertos  Ek. De fato, é suficiente definir
O problema que restou reside na função  f, isto é, quais as funções limitadas  f em  [a,b]  tais que seja possível obter conjuntos  Ek mensuráveis, isto é, aos quais é possível atribuir uma medida  m(Ek)? Deste modo, escolheu na classe das funções  f  aquelas que possuem a propriedade seguinte: para cada  a,R , o conjunto
                                         {x Î[a,b]a< f(x) < b}
é mensurável, isto é, a ele pode-se atribuir uma medida.
Assim, ele prova que se  f :  [a,b] ®R  for limitada e mensurável então as somas
convergem para um número único  L  quando  l(P) ®0,  P  partição  m = y0 < y1<...< yn-1 <yn = M de   [m,M] .
Ao número  L  denominou a integral da função  f limitada e mensurável em  [a,b] . Ao número  L denomina-se, atualmente, integral de Lebesgue de  f em  [a,b]  e denota-se por
Demonstra-se que se  f  limitada for integrável à Riemann ela é à Lebesgue e as integrais coincidem.
Feito isto ele ficou devendo a noção de conjunto mensurável. Assim toma- se um subconjunto  E  de ]a,b[ . Consideram-se conjuntos enumeráveis   de intervalos   abertos    ]ak, bk[    de   (a,b )   tais  que  E ÌU]ak, bk[ .  A cada união corresponde um número positivo que é a soma da série    å(bk- ak). Deste modo quando varia a sucessão dos  (]ak,bk[) obtém-se um conjunto de números positivos. Ao ínfimo deste conjunto denomina-se medida de  E  e representa-se por  m(E). Seja  Ec  o complementar de  E  em  ]a,b[ . Do mesmo modo tem-se  m(Ec) . Diz-se que o conjunto  E Ì]a,b[  é mensurável quando  m(E) + m(Ec) = b-a. Note-se que  m(]a,b[) = b-a .
Retornando à partição  P  de  [m,M] , supondo  flimitada e mensurável em  [a,b]  resulta que os conjuntos  Ek ,   k=1,...,n  são mensuráveis e a definição de integral dada por Lebesgue é perfeita.
A integral de Lebesgue permite reformular muitos conceitos da Análise Matemática de modo muito mais claro e natural. Assim, a convergência de funções, séries de Fourier, integração termo a termo de sucessões etc, são bem mais simples com as idéias de Lebesgue. Com a noção de distribuição de Schwarz é possível definir de modo natural os espaços de Sobolev que se baseiam na noção de integral de Lebesgue. Estes espaços são naturais para o estudo de problemas de contorno para as equações diferenciais parciais. Veja J.-L. Lions, Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles - Le Presses de l'Université de Montréal (1965). É mister observar que os conjuntos de medida nula não influenciam nas demonstrações. Assim, toda função quase contínua, cf. Introdução, é integrável à Lebesgue. Daí, as integráveis à Riemann são integráveis à Lebesgue. Toda a teoria de Lebesgue se passa a menos de conjuntos de medida nula. Uma propriedade que vale em um conjunto a menos de um conjunto de medida nula diz-se uma propriedade válida quase sempre. A seguir, analisa-se a fórmula de Newton-Leibniz com a integral de Lebesgue.
  • (Lebesgue). Seja  f :  [a,b] ®R  limitada e mensurável, derivável em  [a,b]  com derivada  f' limitada. Então  f'  é integrável à Lebesgue e vale a fórmula de Newton-Leibniz
Será feito um resumo da demonstração. Inicialmente estende-se  f  ao intervalo  [a,b+1]  definindo-se
                             f(x) = f(b) + (x-b)f'(b)  em [b,b+1].
Assim,  f  é contínua e possui derivada limitada em [a,b+1] . Considere-se a sucessão
de onde resulta
As  jn  são mensuráveis pois  f  é contínua. Logo  f' é mensurável como limite de mensuráveis (Lebesgue). Por hipótese  f'  é limitada e sendo mensurável ela é integrável à Lebesgue.
Do teorema de valor intermediário de Lagrange, obtém-se
Logo, sendo  f'  limitada daí resulta que a sucessão (jn)  é limitada. Do teorema da convergência limitada de Lebesgue resulta de (2.1)
Vale o teorema do valor intermediário para integral de  f . Logo,
com   0 < q',q'' < 1 .
  Sendo  f  contínua, tomando limite quando   n®¥,  obtém-se
É importante observar que da fórmula de Newton- Leibniz resulta que se  a < x < b  tem-se
permitindo reconstruir a função  f  por meio de sua derivada.                  
Cumpre registrar que o ensino da Integral de Lebesgue foi introduzido nos cursos de Matemática da FNFi da UB desde os anos 40 por José Abdelhay. Veja por exemplo José Abdelhay - Introdução ao Estudo da Integral de Lebesgue das Funções Reais de uma Variável Real, Rev. Bras. Est. no 13 ano IV (1943) pp 115-131.     
3.  Complementos
A resposta de Lebesgue para a validade da fórmula de Newton-Leibniz exige que a derivada seja limitada. Daí indagar-se se não seria possível obter um conceito de integral para o qual valesse a fórmula de Newton-Leibniz em condições mais gerais. De modo preciso, obter um conceito de integral  Iabf  de modo que se  f  pertence à classe  H(a,b)  das funções integráveis com este conceito, for derivável, então  f ' pertence à classe  H(a,b)  e vale a fórmula de Newton- Leibniz
Inicialmente este problema central da Análise Matemática no início do século XX foi resolvido por A. Denjoy em 1912 obtendo um conceito de integral, contendo o de Lebesgue e resolvendo o problema da reconstrução de uma função por meio de sua derivada, ou seja, a fórmula de Newton- Leibniz. Simultaneamente O. Perrom em 1914, idealizou um processo de integração contendo o de Lebesgue e resolvendo o problema de reconstrução da função por meio de sua derivada (cf. I.P. Natanson, Theory of Functions of a Real Variable, Vol. II, (1960) Fred. Ungar. Publ. Co. N.Y.). Ver também J. Kurzweil, Generalized  ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter, Czechoslovak Math. Journal (82) (1957) pp 418-446.
Os processos mencionados tiveram como motivação a integral de Lebesgue. Em 1960 foi investigado por R. Henstock um processo de integração com o objetivo da reconstrução de uma função por meio de sua derivada porém baseado nos processos de Cauchy e Riemann. Ele denominou Integral de Riemann Generalizado e muitos autores denominam Integral de Kurzwel-Henstock. Para suas idéias iniciais consulte-se R. Henstock - A Riemann type integral with Lebesgue power, Indian J. of Math. 20 (1968) pp 79-87. Há uma excelente exposição em R.G. Bartle, Return to the Riemann Integral, Amer. Math. Monthly (1966) pp 625-632.
A seguir será feita, de modo sucinto, a construção da integral de Henstock.
Considere-se uma função f : [a,b] ®R. Uma partição  P  na qual escolhe-se um ponto  tk  em cada subintervalo  ]xk-1, xk[  diz-se indexada. Denota-se por
                                       P = {[xk-1,xk], tk}1≤ k ≤ n
uma partição indexada.
Considere-se a soma de Riemann de  f , correspondente à  P  indexada, dada por
Integral de Riemann - Diz-se que um número  I  é a integral de Riemann de  f  em  [a,b], quando para cada  e> 0  existe uma constante  de> 0  tal que
                                                  |S(f,P)-I| < e
para toda partição  P  tal que sua amplitude máxima l(P) < de,  veja p. 4.
A grosso modo o conceito de integral de Henstock consiste em deixar o  de  variável como uma função em  [a,b] . Para isto algumas definições são fixadas.
Calibre sobre  (a,b)  - Denomina-se um calibre sobre ]a,b[  a uma qualquer função  d: [a,b] ®Restritamente positiva.
Partição  d-fina -   Considere-se   um   calibre    dsobre     ]a,b[    e   P=
{[xk-1,xk],tk}1k n  uma partição indexada de  [a,b] . Diz-se que  P  é  d-fina quando
                              0 < xk - xk-1< d(tk)   para k=1,2,¼,n.
Demonstra-se que conhecido um calibre existe uma partição  d-fina (veja R.A. Gordon, The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, AMS (1995), USA).
Integral de Riemann Generalizada (Henstock 1996) - Um número  H  denomina-se integral de Riemann Generalizada da função limitada f :  [a,b] ®R,  quando para cada  e> 0 , existe um calibre  desobre  ]a,b[  tal que
                                                  |S(f,P) - H| < e,
para toda partição P = {[xk-1,xk],tk}1k n de  [a,b] que seja  de-fina.
O número  H  com esta propriedade denomina-se integral de Riemann generalizada e representa-se por
Denota-se por R*(a,b)  a classe das funções  f  que possuem integral de Riemann generalizada.
Exemplos:
1. A classe das funções integráveis a Riemann R(a,b)  está contida em R*(a,b).
2. Considere a função característica dos racionais de (0,1)  denominada função de Dirichlet. Representando por  cesta função, obtém-se  c(x)=1  se  x  racional e  c(x) =0  nos outros pontos de (0,1) , nos irracionais. Será demonstrado que R*(0,1)  e
De fato, o problema principal é definir um calibre  desobre  (0,1)  para cada   e> 0 .
Dado  e> 0  define-se a função real  de  em  [0,1] do modo seguinte:
A função  de  é um calibre em  ]0,1[ . Considere a partição indexada
                                     P = {[xk-1, xk],tk}1£k £n
que seja  de-fina, sendo  de  acima definida. Então
para  xk-1 £  tk £  xk. Ver definição de  defina. Note-se que há, no máximo, dois subintervalos  [xk-1,xk] possuindo  rk  para índice cuja amplitude de cada um é menor ou igual a
Logo, a contribuição para  S(c,P)  dos intervalos  [xk- 1,xk]  com  tk = rk, para índice de  P, é menor ou igual a  e/2k . A contribuição para S(c,P)  das parcelas com índice tk irracional é zero, pois c(tk)=0. Consegüintemente:
para cada  e> 0. Isto prova que a cpossui uma integral de Riemann generalizada igual a zero.                                                             
Não é verdade que se  f ÎR*(a,b)  resulte que seu valor absoluto  |f|  pertença a R*(a,b).  Isto não acontece com a integral de Lebesgue. Sabe- se que se  f  é integrável à Lebesgue em  (a,b)  o mesmo acontece com seu valor absoluto  |f|  e reciprocamente. A reconstrução de uma função  f por meio de sua derivada com a integral de Lebesgue exige que a derivada  f'  seja limitada. Entretanto no caso da integral de Riemann generalizada este resultado é mais geral como pode ser visto a seguir.
Teorema Fundamental. Suponha que  f  possua integral de Riemann generalizada e seja derivável em [a,b] . Então sua derivada  f'  possui integral de Riemann generalizada e vale a fórmula de Newton- Leibniz
Demonstração:  Seja   t Î[a,b]   e   f'(t) = g(t), isto é,
Portanto, para cada e> 0  existe  de(t) > 0  definida para  t Î[a,b]  tal que
tal que  0 < |z-t| < de(t) .
Note-se que  de(t)  assim obtido é um calibre em [a,b]. Da desigualdade anterior obtém-se
                                    |f(z)-f(t)-(z-t)g(t)| < e|z-t|,
para todo  z Î[a,b]  tal que  0 < |z-t| < de(t). Portanto, para  a £x£t£h£b  com  0 < h- x< de(t),   resulta que
Considere-se a partição indexada
                                   P = {[xk-1,xk]; tk}1£k £n
de   [a,b],  da qual obtém-se:
Resulta que
para todo  e> 0 .
Conclui-se que  g=f'  possui integral de Riemann generalizada e
4.  Certos Aspectos Históricos
Prefere-se fixar como início do estabelecimento do conceito de integral as investigações de Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-1712). Estas concepções são sintetizadas nas duas seguintes linhas de pensamento.
  • Idealizada por Newton como integral indefinida, na nomenclatura atual, ou como função primitiva. Este denomina-se método descritivo.
  • Concebido por Leibniz como integral definida, isto é, como a área. Será denominado método construtivo.
Segundo Newton uma função real de variável real  f denomina-se uma integral indefinida ou primitiva quando possui derivada finita igual a  g, isto é:
                                                       f '= g.
A função  g  denomina-se a integral de f  em  [a,b]  e f(b)-f(a)  denomina-se a integral de Newton de  f  em [a,b] .
A teoria da integral desenvolveu-se, inicialmente, segundo as idéias de Newton como o inverso da derivada. Várias aplicações foram feitas a problemas de Mecânica e de Física, em geral.
As idéias de Leibniz permaneceram estáticas. Entretanto, Cauchy (1789- 1857) retornou à concepção de Leibniz com o estudo da integral na classe das funções contínuas em um intervalo  [a,b]. De posse da noção de limite definiu a noção de integral para uma função contínua em  [a,b] representada por
Posteriormente o conceito de integral de Cauchy foi estendido à classe das funções quase contínuas por Riemann e Darboux.
O passo decisivo na teoria da integral foi dado em 1901 por Lebesgue (1875- 1941). A idéia genial de Lebesgue foi descrita na Introdução do presente artigo.
Vários são os processos de definir a integral de uma função. Para acompanhar sua evolução, vem organizado, a seguir, um quadro sinóptico contendo os métodos e os matemáticos envolvidos no processo. O quadro foi organizado seguindo três linhas de idéias: Newton, método descritivo; Leibniz, método construtivo; Daniel, método axiomático. O quadro mostra a evolução no tempo. Note-se que há outros aspectos da evolução que não figuram neste quadro.
Agradecimentos
O autor agradece aos colegas Carla Lopes, Francisco Vieira, Marisa Ortegoza, professores do Instituto de Matemática da UFF, pelas discussões construtivas que teve sobre vários pontos do presente texto.