GEOMETRIA ELÍPTICA


Ao negar o quinto postulado de Euclides que afirma a unicidade das paralelas, temos duas possibilidades: ou admitimos a existência de pelo menos duas paralelas, o que é equivalente a existência de uma infinidade delas, como fizemos para descobrir e estudar as chamadas geometrias hiperbólicas, ou podemos negar a existência de paralelas. O exemplo mais clássico de uma geometria sem paralelas é obtido observando a nossa velha e querida mãe Terra. Ao viajarmos pela superfície da Terra sabemos, que muito embora a nossa sensação seja de que estejamos a viajar em um imenso plano, estamos na verdade sobre a superfície de um sólido de forma esférica (ou quase). Então, quando vamos de um ponto a outro pensando ir reto, descrevemos um imenso círculo que corresponde a um grande círculo da esfera, isto é, círculos com o maior raio possível, que vem a ser o mesmo raio da esfera. Estes grandes círculos tomarão o lugar da reta, e serão considerados as retas deste novo mundo que serve de modelo para as nossas experiências em geometrias elípticas.
Olhando a figura ao lado, é fácil ver, na superfície de uma esfera, quando consideramos como reta o caminho de menor distância entre dois pontos, que é uma escolha óbvia e coerente com a nossa experiência do dia a dia, que não existem paralelas. Quaisquer dois grandes círculos irão se encontrar. Um meridiano é um exemplo de reta na superfície de uma esfera pois ele é um grande círculo. Como sabemos, todos os meridianos se encontram nos pólos sul e norte, portanto, todos eles passam por dois pontos fixos. Isto nos traz um problema adicional para este modelo de geometria elíptica.

Por dois pontos passam uma e somente uma reta. Este é, o também muito famoso, primeiro postulado de Euclides. Ele nunca foi questionado, e nunca se tentou, como se fez com o quinto, transformá-lo em um teorema, pois, sendo ele auto-evidente, no sentido de que podemos concebê-lo sem nos remetermos a questões mais sofisticadas, tem as qualidades que sempre se julgou necessárias para um bom postulado. No entanto, nosso primeiro, e o mais evidente, modelo para uma geometria sem paralelas, nos apronta esta surpresa. Conseguimos sem dificuldades, um mundo sem paralelas, mas o preço foi alto. Violamos o primeiro postulado de Euclides, pois nesse mundo, por dois pontos quaisquer, passarão uma infinidade de retas. O que fazer com isso? Bem, podemos ter duas saídas: ou abandonamos também o primeiro postulado substituindo-o por outro mais fraco, como fizemos com o quinto postulado, ou buscamos um outro modelo que represente um mundo sem paralelas onde o primeiro postulado de Euclides seja válido. Esta tarefa pode e será feita, mas perderemos a clareza que temos no modelo da esfera. A solução que encontramos para manter válido o primeiro postulado de Euclides, é a de identificar os pontos diametralmente opostos da esfera, uni-los como se costurássemos cada ponto da esfera com o seu diametralmente oposto. A figura resultante, infelizmente, não pode ser compreendida facilmente. Ela se chama "O Espaço Projetivo" e não pode sequer ser desenhada no nosso mundo comum de três dimensões. Só em dimensões maiores do que quatro é que de fato existem estes estranhos objetos. Podemos projetá-lo nas três dimensões a que estamos habituados, mas o resultado é muito frustrante, porque para acomodar sua complexidade nas possibilidades limitadas de apenas três dimensões, o objeto se contorce de maneira a criar auto-intercepções que anulam suas principais características decorrentes de sua riqueza topológica. Obteremos algo parecido com um "murundum" disforme que pouco nos ajudará a compreendê-lo. A propriedade principal destes novos objetos, que serão modelos de geometrias elípticas que respeitam o primeiro postulado de Euclides, é a não orientabilidade. O que é isso?

É a propriedade que certos objetos possuem de nos desorientar, se lá morássemos, de nada adiantaria ter uma bússola, pois sua seta apontaria ora para o norte, ora para o sul, nos deixando cada vez mais perdidos. Em caso de não orientabilidade, joguem fora todas as bússolas! Um objeto não orientával, possível em três dimensões é a chamada faixa de Möebius, representada nas figuras ao lado em quatro posições. Ela é obtida como se de um erro da construção habitual de um simples cilindro. Para fazer um cilindro de uma faixa retangular, basta unir suas extremidades e colá-las. Se por descuido, inspiração ou defeito, torcermos a faixa antes de colá-la, obtemos o objeto desejado. Este, diferentemente do cilindro tradicional, não tem dentro ou fora, pois ao percorrê-lo longitudinalmente, passaremos de fora para dentro e de dentro para fora, sem cruzarmos nenhuma borda ou fronteira. Outra diferença surpreendente é o fato desta superfície ter apenas uma borda. Construa você mesmo a sua faixa de Möebius, seguindo as instruções abaixo, e brinque com ela, para melhor entender este maravilhoso objeto de topologia surpreendente.


Agora que já sabemos alguma coisa sobre as faixas de Möebius e o conceito de não orientabilidade, podemos viajar por dentro-fora de uma delas, embarcando em nossa Nave. Tenha paciência mas não tenha medo.

Se costurarmos duas faixas de Möebius, tarefa, novamente impossível no nosso mundo de pequenas dimensões, encontraremos a fantástica Garrafa de Klein, o mesmo Klein dos modelos de geometria hiperbólica, que contém no seu interior todo o exterior e cuja projeção no espaço tridimensional podemos ver abaixo.