GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
Uma breve introdução às Geometrias Hiperbólicas


Ricardo S. Kubrusly
IM/UFRJ


O Drama de Euclides. Duas retas paralelas nunca se encontram. Mas aonde se encontrariam duas retas "ligeiramente" concorrentes? Antes do final da página, ou além? Bem, isso depende do ângulo entre elas. E se o ângulo for bem pequeno? Se encontrarão antes do final da sala, ou além? Além dos limites da cidade? Dentro das fronteiras do país? Isso é claro, ou não? E se o ângulo for realmente muito pequeno, se encontrarão ainda neste nosso continente? Além mar? Por seguro ainda no nosso planeta, ou não? Ou será um encontro cósmico? Nesta galáxia, ou onde? E se elas não se encontrarem dentro dos limites do cosmos? Ainda assim se encontram? E se nunca se encontram, ainda assim são concorrentes, ou não?

Segundo Euclides, duas retas são paralelas se elas nunca se encontram. Ora, então as nossas retas que nunca se encontram são paralelas. Mas como paralelas se o ângulo entre elas, embora pequeno, é diferente de zero. É claro que elas não são paralelas, ou não?

O quinto postulado. Dado uma reta qualquer e um ponto fora desta reta, existe uma única paralela à reta dada, passando por este ponto.
Euclides ao formular este postulado, que acima está escrito na versão dada por Playfair no século XVII, sabia, ou logo percebeu, que a questão da unicidade das paralelas era, ou seria, polêmica, pois implicava a existência do ponto de encontro de duas quaisquer retas concorrentes, mesmo que este se encontrasse além dos limites do factível. Pode-se afirmar a existência de algo que não pode ser realizado dentro do universo inteiro? Esta era uma questão bastante delicada. Por outro lado, a veracidade do quinto postulado, jamais foi questionada, pelo menos até meados do século XIX. Era claro, que as nossas duas retas acabariam por se encontrar, num ponto teórico, que não precisava ser construído, pois tinha a sua existência garantida dentro do nosso pensamento. O que preocupava o velho Euclides, não era portanto a veracidade do seu quinto postulado, mas sua praticidade. Não era tão simples quanto os outros postulados que nunca geraram questões filosóficas, eram essencialmente auto-evidentes e nunca remeteram nossos pensamentos para o infinito.

Estabeleceu-se então um consenso de que embora houvesse algum problema com o quinto postulado, sua veracidade era inquestionável. Tratava-se, muito provavelmente, não de um verdadeiro postulado, mas sim de um teorema, e como tal deveria ser demonstrado dentro da própria geometria, utilizando-se é claro, apenas a matemática gerada pelos quatro primeiros postulados. Nesta tarefa, a de provar o quinto postulado de Euclides, envolveram-se milhares de matemáticos durante mais de dois mil anos. Provas e mais provas iam surgindo, ficavam por um tempo com a fama e a glória de terem resolvido o maior desafio matemático que até então aparecera, para depois serem derrubadas, uma a uma, pela mente precisa e impiedosa da própria matemática.

Há "provas" de todos os tipos, desde as mais simples, que foram facilmente desmontadas, até as mais elaboradas que no início do século XIX apareceram na Europa e que necessitam de um olhar atento e rigoroso para serem desqualificadas como verdadeiras demonstrações do quinto postulado de Euclides. Mas todas, das mais ingênuas às mais sofisticadas, continham sempre, por mais disfarçado que fosse, um raciocínio circular que escondia dentro da própria argumentação lógica de sua demonstração, as verdades do próprio quinto postulado que se queria provar. A suposta verdade sobre a existência de uma única paralela estava tão encarnada dentro do pensamento científico que era fácil usá-la sem dar-se conta. São tantos os resultados, obtidos como conseqüência direta da unicidade das paralelas, que até então eram inquestionáveis, como a simples existência de retângulos ou o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo ser 180o, que eram usados, sem que se percebesse a dependência que tinham do quinto postulado, nas pretensas provas que acabavam sempre tornando-se ciclos viciosos de redundância lógica.

O surgimento das novas geometrias. Na tentativa de demonstrar o quinto postulado de Euclides, uma das técnicas matemáticas que foi largamente utilizada no início do século XIX é a prova por contradição que consiste em supor o contrário do que ser quer demonstrar e procurar, mais adiante, o surgimento de um absurdo que indicaria que o que tomamos por hipótese era falso, restando ser verdadeiro o seu contrário. Há duas maneira de negar a unicidade das paralelas no quinto postulado de Euclides: uma é supor que por qualquer ponto fora de uma reta dada, é possível passar pelo menos duas paralelas a esta reta; a outra é supor que nenhuma paralela é possível, isto é, que o espaço não admite paralelas. No primeiro caso, obteremos as chamadas geometrias hiperbólicas que são visitadas nesta página, no segundo, o espaço sem paralelas que é chamado de Geometria Elíptica.

Postulado das paralelas para as geometrias hiperbólicas. Dado uma reta qualquer e um ponto fora desta reta, existe pelo menos duas retas paralelas à reta dada, passando por este ponto.
Varias são as surpresas que nos aguardam no mundo hiperbólico. Se existem pelo menos duas paralelas a uma certa reta dada, entre as duas existirão uma infinidade de paralelas. Mas como também existem retas que são concorrentes, isto é, que se cortam umas às outras, nem tudo é paralela. Chamaremos às últimas paralelas, aquelas que encontram assimptoticamente com a reta dada no infinito, de paralelas limites. Na figura ao lado, correspondem às curvas vermelhas. Acontece agora que duas retas paralelas podem ter um ângulo entre elas diferente de zero (ou 180) graus.

Isso destrói vários resultados que utilizamos freqüentemente em geometria. A novidade é tanta que pouco adianta tentarmos, sem uma boa visualização, analisar o que acontece nesses novos mundos cheios de novidades. A melhor maneira de entender o que realmente se passa quando trocamos o quinto postulado de Euclides pelas versões não euclidianas é através da construção de modelos. Modelos serão mundos, ou supostos mundos, onde valem como verdade nossos novos postulados. A existência de modelos demonstra a independência do quinto postulado de Euclides. Se existe um modelo onde valem todos os postulados menos o quinto e vale, concomitantemente, uma negação do quinto, é porque este é totalmente independente dos outros quatro, isto é, não deriva matematicamente deles.

Modelos. Se não há contradição na existência de muitas paralelas passando por um ponto dado, fora de uma certa reta, e se, na verdade, novas geometrias podem, desta maneira, ser construídas, qual delas representaria o espaço em que vivemos? De que espaço falam as geometrias não euclidianas?
É claro que o plano infinito, que em nossa mente concebemos ao imaginar a geometria plana tradicional, é bem descrito pelo modelo euclidiano com a validade inquestionável do famoso quinto postulado. A necessidade de visualizar um espaço onde seria possível outras geometrias, que negavam o quinto postulado, deu origem à criação dos modelos para as geometrias não euclidianas. O primeiro deles, foi feito por Beltrami. É um modelo para a geometria plana, mas obtido na geometria euclidiana em três dimensões, por rotação de uma curva chamada Tractrix em torno de sua assíntota. Essa superfície é conhecida como Pseudoesfera e embora bastante curiosa, não constitui um modelo prático para o estudo das geometrias não euclidianas. Os mais famosos modelos são: o modelo de F. Klein e os dois modelos de H. Poincaré. A idéia básica destes modelos é a mesma. Se duas retas no plano, inclinadas uma em relação a outra, não se encontram, é porque o plano, ou o universo onde estas retas são imaginadas, "não é grande o suficiente". É como se o infinito "chegasse" antes do fim. Temos que construir modelos que tragam o infinito para finito, transformando o plano todo em subconjuntos limitados do próprio plano. Recomendamos as páginas transformações da reta ou transformações do plano, para entendermos como estas transformações podem ser construídas matematicamente. Vamos aos modelos:

O modelo de Klein. Imaginemos que o plano euclidiano em sua totalidade seja transformado continuamente em um disco limitado, tendo no círculo que o circunda, os pontos que representam o infinito no plano original. Desta maneira, podemos representar as retas do plano euclidiano por cordas neste disco, como mostra o quadro Retas de Klein. Veja que, por um ponto dado fora de uma certa reta, podemos traçar uma infinidade de paralelas, como mostra o quadro Paralelas de Klein. Este modelo, o mais simples de ser construído para as geometrias hiperbólicas, distorce, como era de se esperar, a noção euclidiana de distância, que terá de ser substituída por uma outra que leve em consideração a presença do infinito na borda do disco. Este problema, fruto da transformação do plano no disco finito, é inerente a qualquer modelo que tente descrever a geometria hiperbólica e será visto adiante. A transformação usada na construção do modelo de Klein, nos traz, infelizmente, um outro problema grave. As medidas dos ângulos ficam também distorcidas, impossibilitando com isso, que possamos ter uma visualização correta do que se passa no plano hiperbólico. Para exemplificar esta situação, vejamos o quadro Perpendiculares de Klein, que mostra como que a família das retas perpendiculares a uma certa reta dada pode ser construída. Primeiramente determina-se o foco F exterior ao disco, que é o ponto de onde partem as tangentes ao círculo dos infinitos, passando pelos extremos das retas no modelo de Klein. As perpendiculares são todas as retas que partem de F e cortam a reta dada. É possível mostrar, ainda utilizando este mesmo modelo, que existe uma única perpendicular comum a qualquer duas retas paralelas dadas. Observe e comprove você mesmo no quadro Perpendicular comum.

O modelo de Poincaré. Neste modelo, o plano é também mapeado num disco limitado, mas as retas euclidianas são transformadas em círculos ortogonais ao círculo dos infinitos. Vejam nos quadros Retas de Poincaré como dois pontos determinam uma reta neste modelo. Mais uma vez, é claro, temos uma infinidade de paralelas à uma dada reta, passando por um ponto fora desta. Veja e comprove no quadro Paralelas de Poincaré. As propriedades dos círculos ortogonais, podem ser vista em Círculos de Inversão. Felizmente neste modelo, porque a inversão é uma transformação conforme, os ângulos têm as suas medidas em verdadeira grandeza, permitindo uma visualização magnífica das propriedades surpreendentes da geometria hiperbólica. Veja no quadro Ângulo de Poincaré que a medida do ângulo entre duas retas pode ser dada pela medida do ângulo que fazem as tangentes aos arcos que definem as retas no disco de Poincaré. Podemos constatar que em qualquer triângulo na geometria hiperbólica, a soma dos ângulos internos é sempre menor do que 180o. Este é apenas o primeiro de uma série de resultados surpreendentes que nos reserva este novo mundo. Veja no quadro Triângulo de Poincaré e verifique você mesmo, mexendo nos vértices do triângulo, esta novidade inesperada do espaço hiperbólico. Fantástico não?

Chamamos de Defeito de um triângulo ao que falta à soma dos seus ângulos internos para chegar a 180o. Na geometria hiperbólica, o defeito de um triângulo será sempre positivo e menor do que 180o, no caso de igualdade, o triângulo terá todos os ângulos iguais a zero mas área diferente de zero; ainda assim será um triângulo e não um triângulo degenerado num segmento de reta, como na geometria euclidiana. Experimente no quadro dos triângulos acima e tente construir um triângulo com todos os ângulos iguais a zero.

Na geometria euclidiana, dois triângulos que têm os mesmos ângulos são chamados semelhantes. Podem ser de vários "tamanhos" e terão a razão entre suas áreas proporcionais ao quadrado da razão entre seus lados. Na geometria hiperbólica, um triângulo fica perfeitamente determinado pelo valor de seus ângulos. Não existem triângulos semelhantes, ou melhor, dois triângulos semelhantes são congruentes, isto é, iguais. É interessante lembrar que Wallis, famoso matemático inglêsdo século XVII, tentou provar o quinto postulado de Euclides postulando a existência de dois triângulos semelhantes. Infelizmente, os dois resultados são equivalentes: quinto postulado se e somente se existem triângulos semelhantes. Mais uma vez a sonhada prova foi adiada e o raciocínio circular e vicioso prevaleceu. Ora, se dois triângulos com os mesmos ângulos são congruentes, terão a mesma área. Podemos então deduzir que a área de um triângulo na geometria hiperbólica depende apenas dos seus ângulos. De fato isto é verdade, e esta relação é dada pela formula
-100
onde A representa a área do triângulo, D o seu defeito e k é uma constante de proporcionalidade que depende da unidade de medida no modelo. Observe que nas geometrias hiperbólicas existe uma área máxima possível para todos os triângulos,esta área se dá quando o defeito D =180o, o que equivate a um triângulo com todos os ângulos iguais a zero.

Não há retângulos nesse novo mundo. O mais perto que se pode chegar são os famosos Quadriláteros de Lambert e os Quadriláteros de Saccheri , este último, um matemático italiano percursor das descobertas não euclidianas. Na verdade, foi Saccheri quem primeiro observou que não haveria contradição na negação do quinto postulado de Euclides.

Distâncias entre dois pontos, independente do modelo utilizado, sempre serão distorcidas, pois as distâncias devem crescer à medida que os postos se aproximam do círculo dos infinitos. Temos pois que criar uma fórmula para distância que reproduza esta característica destes modelos, isto é, que transformam o plano todo em um disco limitado, além disso, será preciso que a nossa nova fórmula para distância satisfaça as propriedades tradicionais de uma distância, ou seja, que seja sempre positiva, que seja igual a zero apenas quando os dois pontos são coincidentes e que seja também simétrica, pois a distância de um ponto A a um ponto B tem que ser igual à distância de B a A. Veja no quadro Distâncias em Poincaré como resolvemos esta questão.

O semiplano de Poincaré. Se no modelo do disco de Poincaré fizermos com que o raio do círculo limite cresça, tendendo para infinito, este se degenera em um semiplano resultando o modelo do semiplano de Poincaré. Neste modelo, as retas serão os semicírculos centrados na reta obtida da degenerescência do antigo círculo dos infinitos, que chamaremos de reta dos infinitos, assim como as retas perpendiculares à reta dos infinitos, que podem ser entendidas como semicírculos de raio infinito, como mostra o quadro Novas retas de Poincaré. Ângulos e distâncias funcionam como no modelo do disco, fazendo deste também um modelo conforme. Observe em Ângulos e distâncias no semiplano de Poincaré como estas medidas são representadas.


Consistência. já que existem vários modelos para as geometrias hiperbólicas ou elípticas, podemos perguntar se cada modelo descreve um mundo particular, de acontecimentos particulares, ou se todos falam dos mesmos acontecimentos.
É possível mostrar, veja na figura ao lado, que existe uma correspondência biunívoca entre os diversos modelos para a geometria hiperbólica. O mesmo pode ser feito para as outras geometrias. Os discos de Klein e Poincaré, são mapeados um no outro, ponto a ponto, continuamente. Primeiramente observamos que as cordas (segmentos de reta pretos) nos discos amarelo e verde são relacionadas, biunivocamente, como quaisquer dois segmentos . Veja o O tamanho do infinito, para um estudo mais detalhado destes relacionamentos. Baixando-se perpendiculares da corda do disco verde (o equador da esfera) projeta-se este na esfera, obtendo-se o semicírculo azul situado no hemisfério sul. A projeção estereográfica, a partir do polo norte da esfera, do semicírculo determina no disco amarelo a reta de Poincaré, que será o arco vermelho. E vice-versa. Fica assim demonstrada a equivalência entre os dois modelos.
Os protagonistas. Um pouco da história da descoberta das geometrias não euclidianas ilustra bem, não somente a maneira como aparecem as novidades científicas, com avanços e retrocessos, onde a dúvida é sempre a mãe do conhecimento, mas também o imutável comportamento humano, imerso em vaidades e idiossincrasias, onde as certezas dominam o cenário e as verdadeiras sabedorias se extinguem. Foram três os principais personagens dessa história: Lobachevsky, Bolyai e Gauss; dois desconhecidos contracenando com o mais famoso de todos os matemáticos de todos os tempos. O primeiro a publicar as novidades foi Lobachevsky, mas ninguém tomou conhecimento. Tratava-se de um "ninguém", um professor dos confins da Rússia que criara algo que até então, não servia para nada e que tinha todo o seu trabalho escrito em russo, uma língua de pouca penetração na Europa do início do século XIX. Mais ou menos na mesma época, Janos Bolyai, filho de Farkas Bolyai, que era um matemático romeno de certa expressão, muito amigo de Gauss e que passara toda a sua vida a tentar provar que o quinto postulado de Euclides era um teorema derivável dos quatro primeiros postulados, o que não era incomum naquele tempo, a contragosto do pai que muito lhe aconselhava a abandonar o problema, advertindo-o que poderia perder a sua vida e desperdiçar o seu talento sem chegar a lugar algum, percebia, assim como Lobachevsky, que não havia contradição nem absurdo em negar o tradicional postulado das paralelas, substituindo-o pelo das geometrias hiperbólicas. O pai impressionado com os resultados do filho, escreve para Gauss contando as novidades. Este responde que há muito já sabia da independência do postulado das paralelas, tinha vários trabalhos escritos sobre o assunto, todos guardados em gavetas bem fechadas, e que, como não achava o resultado grande coisa, ou melhor, como não queria criar complicações políticas com a inteligência alemã, na época dominada pelas idéias de Kant que considerava a Geometria Euclidiana como o exemplo de perfeição teórica que não devia ser mexido, pretendia deixá-los por enquanto engavetados. Nem precisa dizer que Bolyai ficou muito deprimido principalmente quando viu o trabalho de Lobachevsky traduzido. Bem, os três independentemente merecem os créditos dessa grande descoberta que veio abrir o caminho que seria mais tarde percorrido por Cantor e depois por Gödel, já no início deste século, e que levaria à libertação e à independência do pensamento matemático e humano, separando, definitivamente, a razão do homem da vontade de Deus. Confira em O tamanho do infinito e em Uma viagem informal ao teorema de Gödel as contribuições do infinito na criação de uma matemática livre e psicanalisada, fruto apenas da razão humana, em sua eterna busca de transcender a simples matéria responsável de que somos construídos.
Pensando no Infinito