Processos de Lévy e Aplicações
Dorival Leão P. Jr. (USP-São Carlos)

Uma das idéias mais aplicada na teoria de probabilidade é a divisibilidade infinita. Uma distribuição de probabilidade é infinitamente divisível se esta for decomposta na soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, para algum número natural n. Muitas distribuições são infinitamente divisíveis, como a distribuição normal, Poisson, t-Student, qui-quadrado, dentre outras. O resultado básico da teoria de distribuições infinitamente divisíveis é a fórmula de Lévy-Khintchine. Esta fórmula nos apresenta uma expressão geral para a função característica de uma distribuição infinitamente divisível.
Ao passarmos de variáveis aleatórias para os processos estocásticos, o análogo da divisibilidade infinita é o conceito de incrementos independentes e estacionários. Os processos estocásticos com incrementos independentes e estacionários são denominados processos de Lévy. Muitos processos estocásticos são processos de Lévy, como o movimento Browniano, o processo de Poisson, o processo de Poisson composto e ossubordinadores. Um dos principais resultados sobre os processos de Lévy corresponde a decomposição de Lévy-Itô. Esta decomposição nos garante que um processo de Lévy pode ser decomposto em quatro termos: um determinístico (drift) que cresce com o tempo. O movimento Browniano, a soma compensada de “pequenos” saltos e a soma (finita) de “grandes” saltos. Em particular, os processos de Lévy são semimartingales. Com esta caracterização dos processos de Lévy, vamos abordar a questão de simulação Monte Carlo e suas aplicações a inferência não paramétrica.