Ordem de convergência forte do método de Euler para
equações diferenciais aleatórias com ruídos semimartingale
Ricardo Rosa (IM-UFRJ)

Sabe-se que o método de Euler para aproximar uma EDO é de ordem 1. Para EDOs estocásticas com ruído multiplicativo, entretanto, essa ordem cai para 1/2. E quanto a EDOs aleatórias? Os trabalhos anteriores estimam que a ordem de convergência pode ser ainda menor, dada pelo expoente de Hölder dos caminhos amostrais do ruído. Aqui, não apenas estendemos a convergência do método de Euler para qualquer ruído do tipo semimartingale, portanto não necessariamente com caminhos contínuos, como mostramos que a convergência é, na verdade, de ordem 1! Para um ruído dado por um movimento browniano fracionário, que não é semimartingale, podemos não atingir a ordem 1, dependendo do parâmetro de Hurst, mas ainda assim melhoramos a ordem em comparação com os resultados anteriores. As demonstrações se baseiam em uma estimativa de erro global, ao invés do erro local, e da utilização do Teorema de Fubini para passar o termo crítico de regularidade da escala pequena da malha para as escalas grandes, que são então controladas pelas propriedades globais do ruído. Nesta palestra, vamos discutir esse avanço, esboçar as demonstrações e ilustrar os resultados numericamente com diversos modelos interessantes. Este é um trabalho conjunto com Peter Kloeden (Universidade de Tübingen, Alemanha), aceito para publicação na revista ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis.