Algoritmos são objetos matemáticos. O desenvolvimento de algoritmos provadamente eficientes é um desafio que exige ferramentas provenientes de várias áreas da matemática. Já complexidade é o estudo de cotas para o desempenho de todos os algoritmos para resolver um certo problema. Achar cotas inferiores precisas pode ser extremamente difícil. Estamos particularmente interessados no estudo de algoritmos e complexidade para problemas numéricos ou contínuos, como osde análise numérica.
Do ponto de vista tecnológico, um melhor entendimento matemático da análise numérica se traduz em algoritmos mais eficientes e/oumais confiáveis. Em particular, não existe hoje uma tecnologia satisfatória para resolver sistemas de equações polinomiais. Uma melhora nessatecnologia teria efeito em áreas como engenharia mecânica, cinética química ou bioquímica, gráficos computacionais,otimização não-linear, controle, e outras. Conexões com outras áreas da matemática. No estudo de problemas numéricos, podemos considerar os espaços deentrada e saída como espaços lineares, ou como variedades diferenciáveis. Além disso, podemos supor uma medida de probabilidadeno espaço das entradas e assumir invariância por uma ação de grupo. Invariantes como o número de condicionamento podem sertratados como uma variável aleatória, e a probabilidade de umproblema ser mal condicionado pode ser estimada. Mas o número decondicionamento pode também ser interpretado como o inverso dadistância a uma variedade discriminante, e pode ser estimado a partir das propriedades aritméticas dessa variedade.
A geometria diofantina consiste em encontrar soluções inteiras para equações polinomiais inteiras em várias variáveis. Ela data dos gregos, como, por exemplo, o teorema de Pitágoras. Algumas conjecturas resistiram por períodos longos, como o último teorema de Fermat, cerca de 300 anos. Na verdade, sua demonstração é uma incarnação do poder da sucessora da geometria diofantina, a geometria aritmética. Para produzir as soluções procuradas, é mais interessante entender sua complexidade aritmética, medida pela sua altura, da mesma forma que suas encarnações lineares através das representações galoisianas. O fato que o último teorema de Fermat seja verdade é menos interessante que o fato que este é implicado pela conjectura de Shimura-Tanyiama prova por Wiles, Taylor et al. Esta conjectura está ligada profundamente à teoria aritmética das curvas elíticas da segunda metade do século XX. Envolve uma noção ubíqua em matemática, i.e., a teoria de deformação cuja origem remonta à geometria algébrica, mas que estende-se das representações galoisianas a física.
Matemática Pura e Aplicada (ver também o Programa de Pós-Graduação em Matemática)
Métodos Estatísticos (ver também o Programa de Pós-Graduação em Estatística)
Análise Numérica é o estudo dos algoritmos para a resolução de problemas da Matemática do Contínuo. Um de seus principais ramos é o estudo da resolução numérica de Equações a Derivadas Parciais. Diversas EDPs de grande interesse são difíceis ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente, mas métodos numéricos são capazes de encontrar soluções aproximadas onde o erro pode ser estimado e controlado.
O Instituto de Matemática da UFRJ conta com um grupo ativo de pesquisadores desta área com diversas linhas de pesquisa relacionadas. Entre elas, destacamos:
